Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26994 / 6806
↖ ↑ ↗
← N 80.512171°
W 31.717529°		 ← 100.69 m → N 80.512171°
W 31.712036°		 →
↑
100.73 m
↓
↑
100.73 m
↓
N 80.511266°
W 31.717529°		 ← 100.70 m →
10 143 m²		 N 80.511266°
W 31.712036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411903381347656 y=0.103858947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411903381347656 × 216)
    floor (0.411903381347656 × 65536)
    floor (26994.5)     		tx = 26994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103858947753906 × 216)
    floor (0.103858947753906 × 65536)
    floor (6806.5)     		ty = 6806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26994 / 6806 ti = "16/26994/6806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26994/6806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26994 ÷ 216
    26994 ÷ 65536     		x = 0.411895751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6806 ÷ 216
    6806 ÷ 65536     		y = 0.103851318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.17620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55357532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103851318359375 × 2 - 1) × π
    0.79229736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4890755758718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55357532} λ = -0.55357532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4890755758718))-π/2
    2×atan(12.0501315377363)-π/2
    2×1.48799940117214-π/2
    2.97599880234429-1.57079632675     		φ = 1.40520248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55357532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.717529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40520248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.512171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26994 KachelY 6806 -0.55357532 1.40520248 -31.717529 80.512171
    Oben rechts KachelX + 1 26995 KachelY 6806 -0.55347944 1.40520248 -31.712036 80.512171
    Unten links KachelX 26994 KachelY + 1 6807 -0.55357532 1.40518667 -31.717529 80.511266
    Unten rechts KachelX + 1 26995 KachelY + 1 6807 -0.55347944 1.40518667 -31.712036 80.511266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40520248-1.40518667) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dl = 100.725510000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40520248-1.40518667) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dr = 100.725510000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55357532--0.55347944) × cos(1.40520248) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16483808337268 × 6371000     		do = 100.691587188499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55357532--0.55347944) × cos(1.40518667) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164853677081407 × 6371000     		du = 100.701112628554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40520248)-sin(1.40518667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16483808337268-0.164853677081407)×R²
    abs(-0.55347944--0.55357532)×1.55937087277236e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.55937087277236e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.55937087277236e-05×40589641000000     		ar = 10142.6911999167m²