Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26993 / 6542
↖ ↑ ↗
← N 80.748259°
W 31.723022°		 ← 98.20 m → N 80.748259°
W 31.717529°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
N 80.747376°
W 31.723022°		 ← 98.21 m →
9 641 m²		 N 80.747376°
W 31.717529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411888122558594 y=0.0998306274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411888122558594 × 216)
    floor (0.411888122558594 × 65536)
    floor (26993.5)     		tx = 26993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998306274414062 × 216)
    floor (0.0998306274414062 × 65536)
    floor (6542.5)     		ty = 6542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26993 / 6542 ti = "16/26993/6542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26993/6542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26993 ÷ 216
    26993 ÷ 65536     		x = 0.411880493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6542 ÷ 216
    6542 ÷ 65536     		y = 0.099822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411880493164062 × 2 - 1) × π
    -0.176239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55367119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099822998046875 × 2 - 1) × π
    0.80035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51438625887119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55367119} λ = -0.55367119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51438625887119))-π/2
    2×atan(12.3590212113199)-π/2
    2×1.49005965398789-π/2
    2.98011930797578-1.57079632675     		φ = 1.40932298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55367119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.723022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40932298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.748259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26993 KachelY 6542 -0.55367119 1.40932298 -31.723022 80.748259
    Oben rechts KachelX + 1 26994 KachelY 6542 -0.55357532 1.40932298 -31.717529 80.748259
    Unten links KachelX 26993 KachelY + 1 6543 -0.55367119 1.40930757 -31.723022 80.747376
    Unten rechts KachelX + 1 26994 KachelY + 1 6543 -0.55357532 1.40930757 -31.717529 80.747376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40932298-1.40930757) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dl = 98.1771100003122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40932298-1.40930757) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dr = 98.1771100003122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55367119--0.55357532) × cos(1.40932298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160772561321776 × 6371000     		do = 98.1979142069139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55367119--0.55357532) × cos(1.40930757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160787770841409 × 6371000     		du = 98.2072039954928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40932298)-sin(1.40930757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160772561321776-0.160787770841409)×R²
    abs(-0.55357532--0.55367119)×1.52095196321589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52095196321589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52095196321589e-05×40589641000000     		ar = 9641.24344743132m²