Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26992 / 6799
↖ ↑ ↗
← N 80.518507°
W 31.728515°		 ← 100.61 m → N 80.518507°
W 31.723022°		 →
↑
100.60 m
↓
↑
100.60 m
↓
N 80.517603°
W 31.728515°		 ← 100.62 m →
10 122 m²		 N 80.517603°
W 31.723022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411872863769531 y=0.103752136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411872863769531 × 216)
    floor (0.411872863769531 × 65536)
    floor (26992.5)     		tx = 26992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103752136230469 × 216)
    floor (0.103752136230469 × 65536)
    floor (6799.5)     		ty = 6799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26992 / 6799 ti = "16/26992/6799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26992/6799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26992 ÷ 216
    26992 ÷ 65536     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6799 ÷ 216
    6799 ÷ 65536     		y = 0.103744506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103744506835938 × 2 - 1) × π
    0.792510986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48974669246648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48974669246648))-π/2
    2×atan(12.058221295261)-π/2
    2×1.48805469565737-π/2
    2.97610939131474-1.57079632675     		φ = 1.40531306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40531306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.518507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26992 KachelY 6799 -0.55376706 1.40531306 -31.728515 80.518507
    Oben rechts KachelX + 1 26993 KachelY 6799 -0.55367119 1.40531306 -31.723022 80.518507
    Unten links KachelX 26992 KachelY + 1 6800 -0.55376706 1.40529727 -31.728515 80.517603
    Unten rechts KachelX + 1 26993 KachelY + 1 6800 -0.55367119 1.40529727 -31.723022 80.517603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40531306-1.40529727) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dl = 100.598089999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40531306-1.40529727) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dr = 100.598089999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55367119) × cos(1.40531306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164729015028639 × 6371000     		do = 100.614467743637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55367119) × cos(1.40529727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164744589298741 × 6371000     		du = 100.623980317342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40531306)-sin(1.40529727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164729015028639-0.164744589298741)×R²
    abs(-0.55367119--0.55376706)×1.5574270102181e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5574270102181e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5574270102181e-05×40589641000000     		ar = 10122.1017549727m²