Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26992 / 6686
↖ ↑ ↗
← N 80.620215°
W 31.728515°		 ← 99.54 m → N 80.620215°
W 31.723022°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
N 80.619320°
W 31.728515°		 ← 99.55 m →
9 907 m²		 N 80.619320°
W 31.723022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411872863769531 y=0.102027893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411872863769531 × 216)
    floor (0.411872863769531 × 65536)
    floor (26992.5)     		tx = 26992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102027893066406 × 216)
    floor (0.102027893066406 × 65536)
    floor (6686.5)     		ty = 6686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26992 / 6686 ti = "16/26992/6686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26992/6686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26992 ÷ 216
    26992 ÷ 65536     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6686 ÷ 216
    6686 ÷ 65536     		y = 0.102020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102020263671875 × 2 - 1) × π
    0.79595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50058043178061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50058043178061))-π/2
    2×atan(12.18956711991)-π/2
    2×1.48894226017993-π/2
    2.97788452035986-1.57079632675     		φ = 1.40708819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40708819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.620215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26992 KachelY 6686 -0.55376706 1.40708819 -31.728515 80.620215
    Oben rechts KachelX + 1 26993 KachelY 6686 -0.55367119 1.40708819 -31.723022 80.620215
    Unten links KachelX 26992 KachelY + 1 6687 -0.55376706 1.40707257 -31.728515 80.619320
    Unten rechts KachelX + 1 26993 KachelY + 1 6687 -0.55367119 1.40707257 -31.723022 80.619320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40708819-1.40707257) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dl = 99.5150200006689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40708819-1.40707257) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dr = 99.5150200006689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55367119) × cos(1.40708819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16297787670562 × 6371000     		do = 99.5448938723583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55367119) × cos(1.40707257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162993287842022 × 6371000     		du = 99.5543068059943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40708819)-sin(1.40707257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16297787670562-0.162993287842022)×R²
    abs(-0.55367119--0.55376706)×1.54111364017717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54111364017717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54111364017717e-05×40589641000000     		ar = 9906.68046905954m²