Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26992 / 5552
↖ ↑ ↗
← N 81.582843°
W 31.728515°		 ← 89.41 m → N 81.582843°
W 31.723022°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 81.582039°
W 31.728515°		 ← 89.42 m →
7 998 m²		 N 81.582039°
W 31.723022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411872863769531 y=0.0847244262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411872863769531 × 216)
    floor (0.411872863769531 × 65536)
    floor (26992.5)     		tx = 26992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0847244262695312 × 216)
    floor (0.0847244262695312 × 65536)
    floor (5552.5)     		ty = 5552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26992 / 5552 ti = "16/26992/5552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26992/5552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26992 ÷ 216
    26992 ÷ 65536     		x = 0.411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5552 ÷ 216
    5552 ÷ 65536     		y = 0.084716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55376706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084716796875 × 2 - 1) × π
    0.83056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.6093013201189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55376706} λ = -0.55376706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6093013201189))-π/2
    2×atan(13.5895527870384)-π/2
    2×1.49734277804315-π/2
    2.9946855560863-1.57079632675     		φ = 1.42388923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55376706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.728515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42388923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.582843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26992 KachelY 5552 -0.55376706 1.42388923 -31.728515 81.582843
    Oben rechts KachelX + 1 26993 KachelY 5552 -0.55367119 1.42388923 -31.723022 81.582843
    Unten links KachelX 26992 KachelY + 1 5553 -0.55376706 1.42387519 -31.728515 81.582039
    Unten rechts KachelX + 1 26993 KachelY + 1 5553 -0.55367119 1.42387519 -31.723022 81.582039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42388923-1.42387519) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dl = 89.4488399996014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42388923-1.42387519) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dr = 89.4488399996014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55376706--0.55367119) × cos(1.42388923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146379249347537 × 6371000     		do = 89.406655283254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55376706--0.55367119) × cos(1.42387519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146393138101889 × 6371000     		du = 89.4151383645527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42388923)-sin(1.42387519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146379249347537-0.146393138101889)×R²
    abs(-0.55367119--0.55376706)×1.38887543519595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38887543519595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38887543519595e-05×40589641000000     		ar = 7997.70100429961m²