Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26991 / 5808
↖ ↑ ↗
← N 81.374479°
W 31.734009°		 ← 91.61 m → N 81.374479°
W 31.728515°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
N 81.373655°
W 31.734009°		 ← 91.62 m →
8 394 m²		 N 81.373655°
W 31.728515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411857604980469 y=0.0886306762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411857604980469 × 216)
    floor (0.411857604980469 × 65536)
    floor (26991.5)     		tx = 26991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0886306762695312 × 216)
    floor (0.0886306762695312 × 65536)
    floor (5808.5)     		ty = 5808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26991 / 5808 ti = "16/26991/5808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26991/5808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26991 ÷ 216
    26991 ÷ 65536     		x = 0.411849975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5808 ÷ 216
    5808 ÷ 65536     		y = 0.088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411849975585938 × 2 - 1) × π
    -0.176300048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55386294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088623046875 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58475762751343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55386294} λ = -0.55386294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58475762751343))-π/2
    2×atan(13.2600748231518)-π/2
    2×1.49552445380302-π/2
    2.99104890760603-1.57079632675     		φ = 1.42025258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55386294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.734009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42025258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.374479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26991 KachelY 5808 -0.55386294 1.42025258 -31.734009 81.374479
    Oben rechts KachelX + 1 26992 KachelY 5808 -0.55376706 1.42025258 -31.728515 81.374479
    Unten links KachelX 26991 KachelY + 1 5809 -0.55386294 1.42023820 -31.734009 81.373655
    Unten rechts KachelX + 1 26992 KachelY + 1 5809 -0.55376706 1.42023820 -31.728515 81.373655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42025258-1.42023820) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dl = 91.6149800005832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42025258-1.42023820) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dr = 91.6149800005832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55386294--0.55376706) × cos(1.42025258) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.149975751460138 × 6371000     		do = 91.6129097435837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55386294--0.55376706) × cos(1.42023820) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.149989968802162 × 6371000     		du = 91.6215944280005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42025258)-sin(1.42023820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149975751460138-0.149989968802162)×R²
    abs(-0.55376706--0.55386294)×1.42173420235869e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.42173420235869e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.42173420235869e-05×40589641000000     		ar = 8393.51271782317m²