Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26991 / 11566
↖ ↑ ↗
← N 46.694667°
E116.531983°		 ← 837.86 m → N 46.694667°
E116.542968°		 →
↑
837.98 m
↓
↑
837.98 m
↓
N 46.687131°
E116.531983°		 ← 837.98 m →
702 158 m²		 N 46.687131°
E116.542968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823715209960938 y=0.352981567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823715209960938 × 215)
    floor (0.823715209960938 × 32768)
    floor (26991.5)     		tx = 26991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352981567382812 × 215)
    floor (0.352981567382812 × 32768)
    floor (11566.5)     		ty = 11566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26991 / 11566 ti = "15/26991/11566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26991/11566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26991 ÷ 215
    26991 ÷ 32768     		x = 0.823699951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11566 ÷ 215
    11566 ÷ 32768     		y = 0.35296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823699951171875 × 2 - 1) × π
    0.64739990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03386678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35296630859375 × 2 - 1) × π
    0.2940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.923839929477722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03386678} λ = 2.03386678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923839929477722))-π/2
    2×atan(2.51894441159152)-π/2
    2×1.19288600721039-π/2
    2.38577201442078-1.57079632675     		φ = 0.81497569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03386678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.531983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81497569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.694667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26991 KachelY 11566 2.03386678 0.81497569 116.531983 46.694667
    Oben rechts KachelX + 1 26992 KachelY 11566 2.03405852 0.81497569 116.542968 46.694667
    Unten links KachelX 26991 KachelY + 1 11567 2.03386678 0.81484416 116.531983 46.687131
    Unten rechts KachelX + 1 26992 KachelY + 1 11567 2.03405852 0.81484416 116.542968 46.687131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81497569-0.81484416) × R
    0.000131529999999991 × 6371000     		dl = 837.977629999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81497569-0.81484416) × R
    0.000131529999999991 × 6371000     		dr = 837.977629999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03386678-2.03405852) × cos(0.81497569) × R
    0.000191739999999996 × 0.685886084263372 × 6371000     		do = 837.861663762495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03386678-2.03405852) × cos(0.81484416) × R
    0.000191739999999996 × 0.685981793885028 × 6371000     		du = 837.978580295253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81497569)-sin(0.81484416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685886084263372-0.685981793885028)×R²
    abs(2.03405852-2.03386678)×9.57096216562814e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57096216562814e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57096216562814e-05×40589641000000     		ar = 702158.318999576m²