Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2699 / 1123
↖ ↑ ↗
← N 82.393703°
W120.695801°		 ← 323.41 m → N 82.393703°
W120.673828°		 →
↑
323.46 m
↓
↑
323.46 m
↓
N 82.390794°
W120.695801°		 ← 323.53 m →
104 627 m²		 N 82.390794°
W120.673828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164764404296875 y=0.068572998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164764404296875 × 214)
    floor (0.164764404296875 × 16384)
    floor (2699.5)     		tx = 2699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.068572998046875 × 214)
    floor (0.068572998046875 × 16384)
    floor (1123.5)     		ty = 1123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2699 / 1123 ti = "14/2699/1123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2699/1123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2699 ÷ 214
    2699 ÷ 16384     		x = 0.16473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1123 ÷ 214
    1123 ÷ 16384     		y = 0.06854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.6705322265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.10653912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06854248046875 × 2 - 1) × π
    0.8629150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.71092754731342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10653912} λ = -2.10653912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.71092754731342))-π/2
    2×atan(15.0432223461748)-π/2
    2×1.504418865261-π/2
    3.00883773052201-1.57079632675     		φ = 1.43804140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10653912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.695801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43804140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.393703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2699 KachelY 1123 -2.10653912 1.43804140 -120.695801 82.393703
    Oben rechts KachelX + 1 2700 KachelY 1123 -2.10615562 1.43804140 -120.673828 82.393703
    Unten links KachelX 2699 KachelY + 1 1124 -2.10653912 1.43799063 -120.695801 82.390794
    Unten rechts KachelX + 1 2700 KachelY + 1 1124 -2.10615562 1.43799063 -120.673828 82.390794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43804140-1.43799063) × R
    5.07699999998668e-05 × 6371000     		dl = 323.455669999151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43804140-1.43799063) × R
    5.07699999998668e-05 × 6371000     		dr = 323.455669999151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10653912--2.10615562) × cos(1.43804140) × R
    0.00038349999999987 × 0.13236532765735 × 6371000     		do = 323.405359210549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10653912--2.10615562) × cos(1.43799063) × R
    0.00038349999999987 × 0.132415650761445 × 6371000     		du = 323.528312568839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43804140)-sin(1.43799063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13236532765735-0.132415650761445)×R²
    abs(-2.10615562--2.10653912)×5.03231040956675e-05×R²
    0.00038349999999987×5.03231040956675e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.03231040956675e-05×40589641000000     		ar = 104627.182149321m²