Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26989 / 7949
↖ ↑ ↗
← N 79.419267°
W 31.744995°		 ← 112.17 m → N 79.419267°
W 31.739502°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
N 79.418258°
W 31.744995°		 ← 112.18 m →
12 585 m²		 N 79.418258°
W 31.739502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411827087402344 y=0.121299743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411827087402344 × 216)
    floor (0.411827087402344 × 65536)
    floor (26989.5)     		tx = 26989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121299743652344 × 216)
    floor (0.121299743652344 × 65536)
    floor (7949.5)     		ty = 7949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26989 / 7949 ti = "16/26989/7949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26989/7949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26989 ÷ 216
    26989 ÷ 65536     		x = 0.411819458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7949 ÷ 216
    7949 ÷ 65536     		y = 0.121292114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411819458007812 × 2 - 1) × π
    -0.176361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55405469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121292114257812 × 2 - 1) × π
    0.757415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37949182334035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55405469} λ = -0.55405469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37949182334035))-π/2
    2×atan(10.7994134593978)-π/2
    2×1.47846200590053-π/2
    2.95692401180106-1.57079632675     		φ = 1.38612769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55405469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.744995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38612769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.419267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26989 KachelY 7949 -0.55405469 1.38612769 -31.744995 79.419267
    Oben rechts KachelX + 1 26990 KachelY 7949 -0.55395881 1.38612769 -31.739502 79.419267
    Unten links KachelX 26989 KachelY + 1 7950 -0.55405469 1.38611008 -31.744995 79.418258
    Unten rechts KachelX + 1 26990 KachelY + 1 7950 -0.55395881 1.38611008 -31.739502 79.418258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38612769-1.38611008) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38612769-1.38611008) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55405469--0.55395881) × cos(1.38612769) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183620814528771 × 6371000     		do = 112.165046313632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55405469--0.55395881) × cos(1.38611008) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183638125080107 × 6371000     		du = 112.175620489535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38612769)-sin(1.38611008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183620814528771-0.183638125080107)×R²
    abs(-0.55395881--0.55405469)×1.73105513351923e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.73105513351923e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.73105513351923e-05×40589641000000     		ar = 12584.7609885222m²