Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26988 / 25052
↖ ↑ ↗
← S 68.512143°
E116.499023°		 ← 447.49 m → S 68.512143°
E116.510010°		 →
↑
447.44 m
↓
↑
447.44 m
↓
S 68.516167°
E116.499023°		 ← 447.41 m →
200 206 m²		 S 68.516167°
E116.510010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823623657226562 y=0.764541625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823623657226562 × 215)
    floor (0.823623657226562 × 32768)
    floor (26988.5)     		tx = 26988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764541625976562 × 215)
    floor (0.764541625976562 × 32768)
    floor (25052.5)     		ty = 25052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26988 / 25052 ti = "15/26988/25052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26988/25052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26988 ÷ 215
    26988 ÷ 32768     		x = 0.8236083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25052 ÷ 215
    25052 ÷ 32768     		y = 0.7645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8236083984375 × 2 - 1) × π
    0.647216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03329153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66206818362659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03329153} λ = 2.03329153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66206818362659))-π/2
    2×atan(0.189746144144571)-π/2
    2×0.187516924152415-π/2
    0.37503384830483-1.57079632675     		φ = -1.19576248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03329153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.499023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19576248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.512143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26988 KachelY 25052 2.03329153 -1.19576248 116.499023 -68.512143
    Oben rechts KachelX + 1 26989 KachelY 25052 2.03348328 -1.19576248 116.510010 -68.512143
    Unten links KachelX 26988 KachelY + 1 25053 2.03329153 -1.19583271 116.499023 -68.516167
    Unten rechts KachelX + 1 26989 KachelY + 1 25053 2.03348328 -1.19583271 116.510010 -68.516167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19576248--1.19583271) × R
    7.02299999999489e-05 × 6371000     		dl = 447.435329999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19576248--1.19583271) × R
    7.02299999999489e-05 × 6371000     		dr = 447.435329999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03329153-2.03348328) × cos(-1.19576248) × R
    0.000191749999999935 × 0.366304023576868 × 6371000     		do = 447.491372634276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03329153-2.03348328) × cos(-1.19583271) × R
    0.000191749999999935 × 0.366238673993972 × 6371000     		du = 447.411539018839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19576248)-sin(-1.19583271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366304023576868-0.366238673993972)×R²
    abs(2.03348328-2.03329153)×6.53495828957795e-05×R²
    0.000191749999999935×6.53495828957795e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.53495828957795e-05×40589641000000     		ar = 200205.589878421m²