Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26987 / 9406
↖ ↑ ↗
← N 77.844161°
W 31.755981°		 ← 128.61 m → N 77.844161°
W 31.750488°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
N 77.843005°
W 31.755981°		 ← 128.63 m →
16 545 m²		 N 77.843005°
W 31.750488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411796569824219 y=0.143531799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411796569824219 × 216)
    floor (0.411796569824219 × 65536)
    floor (26987.5)     		tx = 26987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143531799316406 × 216)
    floor (0.143531799316406 × 65536)
    floor (9406.5)     		ty = 9406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26987 / 9406 ti = "16/26987/9406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26987/9406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26987 ÷ 216
    26987 ÷ 65536     		x = 0.411788940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9406 ÷ 216
    9406 ÷ 65536     		y = 0.143524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411788940429688 × 2 - 1) × π
    -0.176422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55424643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143524169921875 × 2 - 1) × π
    0.71295166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2398036978475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55424643} λ = -0.55424643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2398036978475))-π/2
    2×atan(9.39148753726393)-π/2
    2×1.4647166231025-π/2
    2.92943324620501-1.57079632675     		φ = 1.35863692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55424643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.755981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35863692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.844161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26987 KachelY 9406 -0.55424643 1.35863692 -31.755981 77.844161
    Oben rechts KachelX + 1 26988 KachelY 9406 -0.55415056 1.35863692 -31.750488 77.844161
    Unten links KachelX 26987 KachelY + 1 9407 -0.55424643 1.35861673 -31.755981 77.843005
    Unten rechts KachelX + 1 26988 KachelY + 1 9407 -0.55415056 1.35861673 -31.750488 77.843005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35863692-1.35861673) × R
    2.01899999998645e-05 × 6371000     		dl = 128.630489999137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35863692-1.35861673) × R
    2.01899999998645e-05 × 6371000     		dr = 128.630489999137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55424643--0.55415056) × cos(1.35863692) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210571378779613 × 6371000     		do = 128.614422870623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55424643--0.55415056) × cos(1.35861673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210591116046307 × 6371000     		du = 128.626478151732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35863692)-sin(1.35861673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210571378779613-0.210591116046307)×R²
    abs(-0.55415056--0.55424643)×1.97372666934925e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97372666934925e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97372666934925e-05×40589641000000     		ar = 16544.5115738726m²