Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26986 / 5806
↖ ↑ ↗
← N 81.376127°
W 31.761475°		 ← 91.60 m → N 81.376127°
W 31.755981°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
N 81.375303°
W 31.761475°		 ← 91.60 m →
8 392 m²		 N 81.375303°
W 31.755981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411781311035156 y=0.0886001586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411781311035156 × 216)
    floor (0.411781311035156 × 65536)
    floor (26986.5)     		tx = 26986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0886001586914062 × 216)
    floor (0.0886001586914062 × 65536)
    floor (5806.5)     		ty = 5806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26986 / 5806 ti = "16/26986/5806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26986/5806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26986 ÷ 216
    26986 ÷ 65536     		x = 0.411773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5806 ÷ 216
    5806 ÷ 65536     		y = 0.088592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.17645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55434231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088592529296875 × 2 - 1) × π
    0.82281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58494937511191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55434231} λ = -0.55434231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58494937511191))-π/2
    2×atan(13.262617654438)-π/2
    2×1.49553883118516-π/2
    2.99107766237031-1.57079632675     		φ = 1.42028134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55434231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.761475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42028134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.376127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26986 KachelY 5806 -0.55434231 1.42028134 -31.761475 81.376127
    Oben rechts KachelX + 1 26987 KachelY 5806 -0.55424643 1.42028134 -31.755981 81.376127
    Unten links KachelX 26986 KachelY + 1 5807 -0.55434231 1.42026696 -31.761475 81.375303
    Unten rechts KachelX + 1 26987 KachelY + 1 5807 -0.55424643 1.42026696 -31.755981 81.375303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42028134-1.42026696) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dl = 91.6149800005832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42028134-1.42026696) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dr = 91.6149800005832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55434231--0.55424643) × cos(1.42028134) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.149947316683056 × 6371000     		do = 91.5955403179198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55434231--0.55424643) × cos(1.42026696) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.149961534087102 × 6371000     		du = 91.604225040223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42028134)-sin(1.42026696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149947316683056-0.149961534087102)×R²
    abs(-0.55424643--0.55434231)×1.42174040459186e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.42174040459186e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.42174040459186e-05×40589641000000     		ar = 8391.92141978011m²