Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26985 / 10393
↖ ↑ ↗
← N 54.819679°
E116.466064°		 ← 703.85 m → N 54.819679°
E116.477051°		 →
↑
703.93 m
↓
↑
703.93 m
↓
N 54.813348°
E116.466064°		 ← 703.96 m →
495 501 m²		 N 54.813348°
E116.477051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823532104492188 y=0.317184448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823532104492188 × 215)
    floor (0.823532104492188 × 32768)
    floor (26985.5)     		tx = 26985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317184448242188 × 215)
    floor (0.317184448242188 × 32768)
    floor (10393.5)     		ty = 10393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26985 / 10393 ti = "15/26985/10393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26985/10393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26985 ÷ 215
    26985 ÷ 32768     		x = 0.823516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10393 ÷ 215
    10393 ÷ 32768     		y = 0.317169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823516845703125 × 2 - 1) × π
    0.64703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03271629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317169189453125 × 2 - 1) × π
    0.36566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14875986249503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03271629} λ = 2.03271629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14875986249503))-π/2
    2×atan(3.15427874376814)-π/2
    2×1.26379010752546-π/2
    2.52758021505092-1.57079632675     		φ = 0.95678389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03271629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.466064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95678389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.819679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26985 KachelY 10393 2.03271629 0.95678389 116.466064 54.819679
    Oben rechts KachelX + 1 26986 KachelY 10393 2.03290804 0.95678389 116.477051 54.819679
    Unten links KachelX 26985 KachelY + 1 10394 2.03271629 0.95667340 116.466064 54.813348
    Unten rechts KachelX + 1 26986 KachelY + 1 10394 2.03290804 0.95667340 116.477051 54.813348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95678389-0.95667340) × R
    0.000110489999999963 × 6371000     		dl = 703.931789999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95678389-0.95667340) × R
    0.000110489999999963 × 6371000     		dr = 703.931789999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03271629-2.03290804) × cos(0.95678389) × R
    0.000191749999999935 × 0.576151625665101 × 6371000     		do = 703.849439863557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03271629-2.03290804) × cos(0.95667340) × R
    0.000191749999999935 × 0.576241930357531 × 6371000     		du = 703.959759620288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95678389)-sin(0.95667340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576151625665101-0.576241930357531)×R²
    abs(2.03290804-2.03271629)×9.03046924302098e-05×R²
    0.000191749999999935×9.03046924302098e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.03046924302098e-05×40589641000000     		ar = 495500.825389768m²