Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26984 / 10391
↖ ↑ ↗
← N 54.832337°
E116.455078°		 ← 703.63 m → N 54.832337°
E116.466064°		 →
↑
703.68 m
↓
↑
703.68 m
↓
N 54.826008°
E116.455078°		 ← 703.74 m →
495 166 m²		 N 54.826008°
E116.466064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823501586914062 y=0.317123413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823501586914062 × 215)
    floor (0.823501586914062 × 32768)
    floor (26984.5)     		tx = 26984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317123413085938 × 215)
    floor (0.317123413085938 × 32768)
    floor (10391.5)     		ty = 10391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26984 / 10391 ti = "15/26984/10391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26984/10391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26984 ÷ 215
    26984 ÷ 32768     		x = 0.823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10391 ÷ 215
    10391 ÷ 32768     		y = 0.317108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823486328125 × 2 - 1) × π
    0.64697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03252454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317108154296875 × 2 - 1) × π
    0.36578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14914335769199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03252454} λ = 2.03252454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14914335769199))-π/2
    2×atan(3.15548862649353)-π/2
    2×1.26390056590309-π/2
    2.52780113180617-1.57079632675     		φ = 0.95700481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03252454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.455078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95700481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.832337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26984 KachelY 10391 2.03252454 0.95700481 116.455078 54.832337
    Oben rechts KachelX + 1 26985 KachelY 10391 2.03271629 0.95700481 116.466064 54.832337
    Unten links KachelX 26984 KachelY + 1 10392 2.03252454 0.95689436 116.455078 54.826008
    Unten rechts KachelX + 1 26985 KachelY + 1 10392 2.03271629 0.95689436 116.466064 54.826008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95700481-0.95689436) × R
    0.000110449999999984 × 6371000     		dl = 703.676949999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95700481-0.95689436) × R
    0.000110449999999984 × 6371000     		dr = 703.676949999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03252454-2.03271629) × cos(0.95700481) × R
    0.000191750000000379 × 0.575971044228504 × 6371000     		do = 703.628834494417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03252454-2.03271629) × cos(0.95689436) × R
    0.000191750000000379 × 0.576061330287118 × 6371000     		du = 703.739131487349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95700481)-sin(0.95689436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575971044228504-0.576061330287118)×R²
    abs(2.03271629-2.03252454)×9.02860586148302e-05×R²
    0.000191750000000379×9.02860586148302e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.02860586148302e-05×40589641000000     		ar = 495166.199418412m²