Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26983 / 25050
↖ ↑ ↗
← S 68.504093°
E116.444092°		 ← 447.63 m → S 68.504093°
E116.455078°		 →
↑
447.56 m
↓
↑
447.56 m
↓
S 68.508118°
E116.444092°		 ← 447.55 m →
200 324 m²		 S 68.508118°
E116.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823471069335938 y=0.764480590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823471069335938 × 215)
    floor (0.823471069335938 × 32768)
    floor (26983.5)     		tx = 26983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764480590820312 × 215)
    floor (0.764480590820312 × 32768)
    floor (25050.5)     		ty = 25050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26983 / 25050 ti = "15/26983/25050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26983/25050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26983 ÷ 215
    26983 ÷ 32768     		x = 0.823455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25050 ÷ 215
    25050 ÷ 32768     		y = 0.76446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823455810546875 × 2 - 1) × π
    0.64691162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03233280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.5289306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66168468842963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03233280} λ = 2.03233280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66168468842963))-π/2
    2×atan(0.189818924834123)-π/2
    2×0.187587174602644-π/2
    0.375174349205287-1.57079632675     		φ = -1.19562198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03233280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.444092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19562198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.504093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26983 KachelY 25050 2.03233280 -1.19562198 116.444092 -68.504093
    Oben rechts KachelX + 1 26984 KachelY 25050 2.03252454 -1.19562198 116.455078 -68.504093
    Unten links KachelX 26983 KachelY + 1 25051 2.03233280 -1.19569223 116.444092 -68.508118
    Unten rechts KachelX + 1 26984 KachelY + 1 25051 2.03252454 -1.19569223 116.455078 -68.508118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19562198--1.19569223) × R
    7.02499999998274e-05 × 6371000     		dl = 447.5627499989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19562198--1.19569223) × R
    7.02499999998274e-05 × 6371000     		dr = 447.5627499989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03233280-2.03252454) × cos(-1.19562198) × R
    0.000191739999999996 × 0.366434754539976 × 6371000     		do = 447.627733151928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03233280-2.03252454) × cos(-1.19569223) × R
    0.000191739999999996 × 0.36636938996245 × 6371000     		du = 447.547885382841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19562198)-sin(-1.19569223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366434754539976-0.36636938996245)×R²
    abs(2.03252454-2.03233280)×6.53645775256506e-05×R²
    0.000191739999999996×6.53645775256506e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.53645775256506e-05×40589641000000     		ar = 200323.630864101m²