Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26983 / 10390
↖ ↑ ↗
← N 54.838664°
E116.444092°		 ← 703.48 m → N 54.838664°
E116.455078°		 →
↑
703.55 m
↓
↑
703.55 m
↓
N 54.832337°
E116.444092°		 ← 703.59 m →
494 973 m²		 N 54.832337°
E116.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823471069335938 y=0.317092895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823471069335938 × 215)
    floor (0.823471069335938 × 32768)
    floor (26983.5)     		tx = 26983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317092895507812 × 215)
    floor (0.317092895507812 × 32768)
    floor (10390.5)     		ty = 10390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26983 / 10390 ti = "15/26983/10390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26983/10390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26983 ÷ 215
    26983 ÷ 32768     		x = 0.823455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10390 ÷ 215
    10390 ÷ 32768     		y = 0.31707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823455810546875 × 2 - 1) × π
    0.64691162109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03233280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31707763671875 × 2 - 1) × π
    0.3658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14933510529047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03233280} λ = 2.03233280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14933510529047))-π/2
    2×atan(3.15609374187255)-π/2
    2×1.263955782108-π/2
    2.527911564216-1.57079632675     		φ = 0.95711524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03233280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.444092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95711524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.838664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26983 KachelY 10390 2.03233280 0.95711524 116.444092 54.838664
    Oben rechts KachelX + 1 26984 KachelY 10390 2.03252454 0.95711524 116.455078 54.838664
    Unten links KachelX 26983 KachelY + 1 10391 2.03233280 0.95700481 116.444092 54.832337
    Unten rechts KachelX + 1 26984 KachelY + 1 10391 2.03252454 0.95700481 116.455078 54.832337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95711524-0.95700481) × R
    0.000110429999999995 × 6371000     		dl = 703.549529999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95711524-0.95700481) × R
    0.000110429999999995 × 6371000     		dr = 703.549529999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03233280-2.03252454) × cos(0.95711524) × R
    0.000191739999999996 × 0.575880767494175 × 6371000     		do = 703.481859527296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03233280-2.03252454) × cos(0.95700481) × R
    0.000191739999999996 × 0.575971044228504 × 6371000     		du = 703.592139377783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95711524)-sin(0.95700481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575880767494175-0.575971044228504)×R²
    abs(2.03252454-2.03233280)×9.02767343282651e-05×R²
    0.000191739999999996×9.02767343282651e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.02767343282651e-05×40589641000000     		ar = 494973.125805012m²