Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26982 / 12706
↖ ↑ ↗
← N 37.422526°
E116.433106°		 ← 970.20 m → N 37.422526°
E116.444092°		 →
↑
970.24 m
↓
↑
970.24 m
↓
N 37.413800°
E116.433106°		 ← 970.31 m →
941 378 m²		 N 37.413800°
E116.444092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823440551757812 y=0.387771606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823440551757812 × 215)
    floor (0.823440551757812 × 32768)
    floor (26982.5)     		tx = 26982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.387771606445312 × 215)
    floor (0.387771606445312 × 32768)
    floor (12706.5)     		ty = 12706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26982 / 12706 ti = "15/26982/12706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26982/12706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26982 ÷ 215
    26982 ÷ 32768     		x = 0.82342529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12706 ÷ 215
    12706 ÷ 32768     		y = 0.38775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82342529296875 × 2 - 1) × π
    0.6468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03214105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38775634765625 × 2 - 1) × π
    0.2244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.705247667210266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03214105} λ = 2.03214105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.705247667210266))-π/2
    2×atan(2.02434798746035)-π/2
    2×1.11197130937499-π/2
    2.22394261874998-1.57079632675     		φ = 0.65314629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03214105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.433106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65314629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.422526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26982 KachelY 12706 2.03214105 0.65314629 116.433106 37.422526
    Oben rechts KachelX + 1 26983 KachelY 12706 2.03233280 0.65314629 116.444092 37.422526
    Unten links KachelX 26982 KachelY + 1 12707 2.03214105 0.65299400 116.433106 37.413800
    Unten rechts KachelX + 1 26983 KachelY + 1 12707 2.03233280 0.65299400 116.444092 37.413800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.65314629-0.65299400) × R
    0.000152290000000055 × 6371000     		dl = 970.23959000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.65314629-0.65299400) × R
    0.000152290000000055 × 6371000     		dr = 970.23959000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03214105-2.03233280) × cos(0.65314629) × R
    0.000191749999999935 × 0.79417576948449 × 6371000     		do = 970.196291400876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03214105-2.03233280) × cos(0.65299400) × R
    0.000191749999999935 × 0.794268305098063 × 6371000     		du = 970.30933653844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.65314629)-sin(0.65299400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79417576948449-0.794268305098063)×R²
    abs(2.03233280-2.03214105)×9.25356135735855e-05×R²
    0.000191749999999935×9.25356135735855e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.25356135735855e-05×40589641000000     		ar = 941377.694241704m²