Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26981 / 10541
↖ ↑ ↗
← N 53.871964°
E116.422119°		 ← 720.27 m → N 53.871964°
E116.433106°		 →
↑
720.31 m
↓
↑
720.31 m
↓
N 53.865486°
E116.422119°		 ← 720.38 m →
518 853 m²		 N 53.865486°
E116.433106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823410034179688 y=0.321701049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823410034179688 × 215)
    floor (0.823410034179688 × 32768)
    floor (26981.5)     		tx = 26981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321701049804688 × 215)
    floor (0.321701049804688 × 32768)
    floor (10541.5)     		ty = 10541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26981 / 10541 ti = "15/26981/10541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26981/10541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26981 ÷ 215
    26981 ÷ 32768     		x = 0.823394775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10541 ÷ 215
    10541 ÷ 32768     		y = 0.321685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823394775390625 × 2 - 1) × π
    0.64678955078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03194930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321685791015625 × 2 - 1) × π
    0.35662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12038121791995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03194930} λ = 2.03194930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12038121791995))-π/2
    2×atan(3.06602280336883)-π/2
    2×1.25551973181148-π/2
    2.51103946362297-1.57079632675     		φ = 0.94024314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03194930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.422119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94024314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.871964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26981 KachelY 10541 2.03194930 0.94024314 116.422119 53.871964
    Oben rechts KachelX + 1 26982 KachelY 10541 2.03214105 0.94024314 116.433106 53.871964
    Unten links KachelX 26981 KachelY + 1 10542 2.03194930 0.94013008 116.422119 53.865486
    Unten rechts KachelX + 1 26982 KachelY + 1 10542 2.03214105 0.94013008 116.433106 53.865486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94024314-0.94013008) × R
    0.000113059999999998 × 6371000     		dl = 720.305259999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94024314-0.94013008) × R
    0.000113059999999998 × 6371000     		dr = 720.305259999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03194930-2.03214105) × cos(0.94024314) × R
    0.000191749999999935 × 0.589591657923234 × 6371000     		do = 720.268310791351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03194930-2.03214105) × cos(0.94013008) × R
    0.000191749999999935 × 0.589682972883849 × 6371000     		du = 720.379864731352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94024314)-sin(0.94013008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589591657923234-0.589682972883849)×R²
    abs(2.03214105-2.03194930)×9.13149606157626e-05×R²
    0.000191749999999935×9.13149606157626e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.13149606157626e-05×40589641000000     		ar = 518853.229871695m²