Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26980 / 10544
↖ ↑ ↗
← N 53.852527°
E116.411133°		 ← 720.60 m → N 53.852527°
E116.422119°		 →
↑
720.62 m
↓
↑
720.62 m
↓
N 53.846046°
E116.411133°		 ← 720.71 m →
519 324 m²		 N 53.846046°
E116.422119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823379516601562 y=0.321792602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823379516601562 × 215)
    floor (0.823379516601562 × 32768)
    floor (26980.5)     		tx = 26980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321792602539062 × 215)
    floor (0.321792602539062 × 32768)
    floor (10544.5)     		ty = 10544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26980 / 10544 ti = "15/26980/10544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26980/10544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26980 ÷ 215
    26980 ÷ 32768     		x = 0.8233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10544 ÷ 215
    10544 ÷ 32768     		y = 0.32177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8233642578125 × 2 - 1) × π
    0.646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03175755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32177734375 × 2 - 1) × π
    0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03175755} λ = 2.03175755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11980597512451))-π/2
    2×atan(3.06425960302331)-π/2
    2×1.25535011323585-π/2
    2.51070022647169-1.57079632675     		φ = 0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03175755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26980 KachelY 10544 2.03175755 0.93990390 116.411133 53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 26981 KachelY 10544 2.03194930 0.93990390 116.422119 53.852527
    Unten links KachelX 26980 KachelY + 1 10545 2.03175755 0.93979079 116.411133 53.846046
    Unten rechts KachelX + 1 26981 KachelY + 1 10545 2.03194930 0.93979079 116.422119 53.846046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93990390-0.93979079) × R
    0.000113110000000027 × 6371000     		dl = 720.623810000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93990390-0.93979079) × R
    0.000113110000000027 × 6371000     		dr = 720.623810000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03175755-2.03194930) × cos(0.93990390) × R
    0.000191749999999935 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 720.603004173549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03175755-2.03194930) × cos(0.93979079) × R
    0.000191749999999935 × 0.589956961352887 × 6371000     		du = 720.714579799176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93990390)-sin(0.93979079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.589956961352887)×R²
    abs(2.03194930-2.03175755)×9.13327118678975e-05×R²
    0.000191749999999935×9.13327118678975e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.13327118678975e-05×40589641000000     		ar = 519323.884945098m²