Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26980 / 10539
↖ ↑ ↗
← N 53.884916°
E116.411133°		 ← 720.05 m → N 53.884916°
E116.422119°		 →
↑
720.11 m
↓
↑
720.11 m
↓
N 53.878440°
E116.411133°		 ← 720.16 m →
518 555 m²		 N 53.878440°
E116.422119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823379516601562 y=0.321640014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823379516601562 × 215)
    floor (0.823379516601562 × 32768)
    floor (26980.5)     		tx = 26980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321640014648438 × 215)
    floor (0.321640014648438 × 32768)
    floor (10539.5)     		ty = 10539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26980 / 10539 ti = "15/26980/10539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26980/10539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26980 ÷ 215
    26980 ÷ 32768     		x = 0.8233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10539 ÷ 215
    10539 ÷ 32768     		y = 0.321624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8233642578125 × 2 - 1) × π
    0.646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03175755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321624755859375 × 2 - 1) × π
    0.35675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12076471311691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03175755} λ = 2.03175755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12076471311691))-π/2
    2×atan(3.06719883387431)-π/2
    2×1.25563276708828-π/2
    2.51126553417656-1.57079632675     		φ = 0.94046921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03175755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94046921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.884916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26980 KachelY 10539 2.03175755 0.94046921 116.411133 53.884916
    Oben rechts KachelX + 1 26981 KachelY 10539 2.03194930 0.94046921 116.422119 53.884916
    Unten links KachelX 26980 KachelY + 1 10540 2.03175755 0.94035618 116.411133 53.878440
    Unten rechts KachelX + 1 26981 KachelY + 1 10540 2.03194930 0.94035618 116.422119 53.878440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94046921-0.94035618) × R
    0.000113030000000069 × 6371000     		dl = 720.114130000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94046921-0.94035618) × R
    0.000113030000000069 × 6371000     		dr = 720.114130000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03175755-2.03194930) × cos(0.94046921) × R
    0.000191749999999935 × 0.589409045785429 × 6371000     		do = 720.045224636283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03175755-2.03194930) × cos(0.94035618) × R
    0.000191749999999935 × 0.589500351581487 × 6371000     		du = 720.156767380501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94046921)-sin(0.94035618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589409045785429-0.589500351581487)×R²
    abs(2.03194930-2.03175755)×9.13057960587604e-05×R²
    0.000191749999999935×9.13057960587604e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.13057960587604e-05×40589641000000     		ar = 518554.902805641m²