Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26978 / 6682
↖ ↑ ↗
← N 80.623795°
W 31.805420°		 ← 99.52 m → N 80.623795°
W 31.799927°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
N 80.622900°
W 31.805420°		 ← 99.53 m →
9 904 m²		 N 80.622900°
W 31.799927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411659240722656 y=0.101966857910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411659240722656 × 216)
    floor (0.411659240722656 × 65536)
    floor (26978.5)     		tx = 26978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101966857910156 × 216)
    floor (0.101966857910156 × 65536)
    floor (6682.5)     		ty = 6682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26978 / 6682 ti = "16/26978/6682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26978/6682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26978 ÷ 216
    26978 ÷ 65536     		x = 0.411651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6682 ÷ 216
    6682 ÷ 65536     		y = 0.101959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.17669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55510930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101959228515625 × 2 - 1) × π
    0.79608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50096392697757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55510930} λ = -0.55510930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50096392697757))-π/2
    2×atan(12.1942426568191)-π/2
    2×1.48897350488433-π/2
    2.97794700976866-1.57079632675     		φ = 1.40715068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55510930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.805420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40715068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.623795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26978 KachelY 6682 -0.55510930 1.40715068 -31.805420 80.623795
    Oben rechts KachelX + 1 26979 KachelY 6682 -0.55501342 1.40715068 -31.799927 80.623795
    Unten links KachelX 26978 KachelY + 1 6683 -0.55510930 1.40713506 -31.805420 80.622900
    Unten rechts KachelX + 1 26979 KachelY + 1 6683 -0.55501342 1.40713506 -31.799927 80.622900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40715068-1.40713506) × R
    1.56199999998829e-05 × 6371000     		dl = 99.5150199992543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40715068-1.40713506) × R
    1.56199999998829e-05 × 6371000     		dr = 99.5150199992543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55510930--0.55501342) × cos(1.40715068) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.162916221896011 × 6371000     		do = 99.5176152612368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55510930--0.55501342) × cos(1.40713506) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.162931633191472 × 6371000     		du = 99.5270292738777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40715068)-sin(1.40713506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162916221896011-0.162931633191472)×R²
    abs(-0.55501342--0.55510930)×1.54112954606767e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.54112954606767e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.54112954606767e-05×40589641000000     		ar = 9903.96589086012m²