Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26976 / 8031
↖ ↑ ↗
← N 79.336236°
W 31.816407°		 ← 113.04 m → N 79.336236°
W 31.810913°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
N 79.335219°
W 31.816407°		 ← 113.05 m →
12 776 m²		 N 79.335219°
W 31.810913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411628723144531 y=0.122550964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411628723144531 × 216)
    floor (0.411628723144531 × 65536)
    floor (26976.5)     		tx = 26976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122550964355469 × 216)
    floor (0.122550964355469 × 65536)
    floor (8031.5)     		ty = 8031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26976 / 8031 ti = "16/26976/8031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26976/8031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26976 ÷ 216
    26976 ÷ 65536     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8031 ÷ 216
    8031 ÷ 65536     		y = 0.122543334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122543334960938 × 2 - 1) × π
    0.754913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37163017180266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37163017180266))-π/2
    2×atan(10.7148450930481)-π/2
    2×1.47773742854999-π/2
    2.95547485709999-1.57079632675     		φ = 1.38467853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38467853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.336236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26976 KachelY 8031 -0.55530105 1.38467853 -31.816407 79.336236
    Oben rechts KachelX + 1 26977 KachelY 8031 -0.55520517 1.38467853 -31.810913 79.336236
    Unten links KachelX 26976 KachelY + 1 8032 -0.55530105 1.38466079 -31.816407 79.335219
    Unten rechts KachelX + 1 26977 KachelY + 1 8032 -0.55520517 1.38466079 -31.810913 79.335219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38467853-1.38466079) × R
    1.77399999998773e-05 × 6371000     		dl = 113.021539999218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38467853-1.38466079) × R
    1.77399999998773e-05 × 6371000     		dr = 113.021539999218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55520517) × cos(1.38467853) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185045141371984 × 6371000     		do = 113.035098473812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55520517) × cos(1.38466079) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185062574973451 × 6371000     		du = 113.04574781507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38467853)-sin(1.38466079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185045141371984-0.185062574973451)×R²
    abs(-0.55520517--0.55530105)×1.74336014673038e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.74336014673038e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74336014673038e-05×40589641000000     		ar = 12776.0027062631m²