Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26975 / 10518
↖ ↑ ↗
← N 54.020679°
E116.356201°		 ← 717.67 m → N 54.020679°
E116.367187°		 →
↑
717.76 m
↓
↑
717.76 m
↓
N 54.014224°
E116.356201°		 ← 717.78 m →
515 151 m²		 N 54.014224°
E116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823226928710938 y=0.320999145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823226928710938 × 215)
    floor (0.823226928710938 × 32768)
    floor (26975.5)     		tx = 26975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320999145507812 × 215)
    floor (0.320999145507812 × 32768)
    floor (10518.5)     		ty = 10518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26975 / 10518 ti = "15/26975/10518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26975/10518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26975 ÷ 215
    26975 ÷ 32768     		x = 0.823211669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10518 ÷ 215
    10518 ÷ 32768     		y = 0.32098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823211669921875 × 2 - 1) × π
    0.64642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03079882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32098388671875 × 2 - 1) × π
    0.3580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.124791412685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03079882} λ = 2.03079882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.124791412685))-π/2
    2×atan(3.0795744217593)-π/2
    2×1.2568175245581-π/2
    2.5136350491162-1.57079632675     		φ = 0.94283872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03079882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.356201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94283872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.020679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26975 KachelY 10518 2.03079882 0.94283872 116.356201 54.020679
    Oben rechts KachelX + 1 26976 KachelY 10518 2.03099056 0.94283872 116.367187 54.020679
    Unten links KachelX 26975 KachelY + 1 10519 2.03079882 0.94272606 116.356201 54.014224
    Unten rechts KachelX + 1 26976 KachelY + 1 10519 2.03099056 0.94272606 116.367187 54.014224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94283872-0.94272606) × R
    0.000112659999999987 × 6371000     		dl = 717.756859999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94283872-0.94272606) × R
    0.000112659999999987 × 6371000     		dr = 717.756859999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03079882-2.03099056) × cos(0.94283872) × R
    0.000191739999999996 × 0.587493220427139 × 6371000     		do = 717.667347989606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03079882-2.03099056) × cos(0.94272606) × R
    0.000191739999999996 × 0.587584384447624 × 6371000     		du = 717.778711727159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94283872)-sin(0.94272606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587493220427139-0.587584384447624)×R²
    abs(2.03099056-2.03079882)×9.1164020484813e-05×R²
    0.000191739999999996×9.1164020484813e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.1164020484813e-05×40589641000000     		ar = 515150.628805398m²