Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26974 / 11598
↖ ↑ ↗
← N 46.452997°
E116.345215°		 ← 841.65 m → N 46.452997°
E116.356201°		 →
↑
841.74 m
↓
↑
841.74 m
↓
N 46.445427°
E116.345215°		 ← 841.76 m →
708 495 m²		 N 46.445427°
E116.356201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823196411132812 y=0.353958129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823196411132812 × 215)
    floor (0.823196411132812 × 32768)
    floor (26974.5)     		tx = 26974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353958129882812 × 215)
    floor (0.353958129882812 × 32768)
    floor (11598.5)     		ty = 11598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26974 / 11598 ti = "15/26974/11598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26974/11598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26974 ÷ 215
    26974 ÷ 32768     		x = 0.82318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11598 ÷ 215
    11598 ÷ 32768     		y = 0.35394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82318115234375 × 2 - 1) × π
    0.6463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03060707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35394287109375 × 2 - 1) × π
    0.2921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.917704006326355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03060707} λ = 2.03060707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.917704006326355))-π/2
    2×atan(2.50353568398793)-π/2
    2×1.1907770363373-π/2
    2.38155407267461-1.57079632675     		φ = 0.81075775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03060707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81075775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.452997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26974 KachelY 11598 2.03060707 0.81075775 116.345215 46.452997
    Oben rechts KachelX + 1 26975 KachelY 11598 2.03079882 0.81075775 116.356201 46.452997
    Unten links KachelX 26974 KachelY + 1 11599 2.03060707 0.81062563 116.345215 46.445427
    Unten rechts KachelX + 1 26975 KachelY + 1 11599 2.03079882 0.81062563 116.356201 46.445427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81075775-0.81062563) × R
    0.000132120000000069 × 6371000     		dl = 841.736520000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81075775-0.81062563) × R
    0.000132120000000069 × 6371000     		dr = 841.736520000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03060707-2.03079882) × cos(0.81075775) × R
    0.000191749999999935 × 0.688949406448049 × 6371000     		do = 841.647636180854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03060707-2.03079882) × cos(0.81062563) × R
    0.000191749999999935 × 0.689045162257121 × 6371000     		du = 841.764615235633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81075775)-sin(0.81062563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688949406448049-0.689045162257121)×R²
    abs(2.03079882-2.03060707)×9.57558090726174e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57558090726174e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57558090726174e-05×40589641000000     		ar = 708494.786147629m²