Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26974 / 10522
↖ ↑ ↗
← N 53.994854°
E116.345215°		 ← 718.15 m → N 53.994854°
E116.356201°		 →
↑
718.20 m
↓
↑
718.20 m
↓
N 53.988395°
E116.345215°		 ← 718.26 m →
515 818 m²		 N 53.988395°
E116.356201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823196411132812 y=0.321121215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823196411132812 × 215)
    floor (0.823196411132812 × 32768)
    floor (26974.5)     		tx = 26974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321121215820312 × 215)
    floor (0.321121215820312 × 32768)
    floor (10522.5)     		ty = 10522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26974 / 10522 ti = "15/26974/10522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26974/10522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26974 ÷ 215
    26974 ÷ 32768     		x = 0.82318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10522 ÷ 215
    10522 ÷ 32768     		y = 0.32110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82318115234375 × 2 - 1) × π
    0.6463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03060707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32110595703125 × 2 - 1) × π
    0.3577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12402442229108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03060707} λ = 2.03060707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12402442229108))-π/2
    2×atan(3.07721332334609)-π/2
    2×1.25659215380487-π/2
    2.51318430760973-1.57079632675     		φ = 0.94238798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03060707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94238798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.994854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26974 KachelY 10522 2.03060707 0.94238798 116.345215 53.994854
    Oben rechts KachelX + 1 26975 KachelY 10522 2.03079882 0.94238798 116.356201 53.994854
    Unten links KachelX 26974 KachelY + 1 10523 2.03060707 0.94227525 116.345215 53.988395
    Unten rechts KachelX + 1 26975 KachelY + 1 10523 2.03079882 0.94227525 116.356201 53.988395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94238798-0.94227525) × R
    0.000112730000000005 × 6371000     		dl = 718.202830000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94238798-0.94227525) × R
    0.000112730000000005 × 6371000     		dr = 718.202830000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03060707-2.03079882) × cos(0.94238798) × R
    0.000191749999999935 × 0.587857912654176 × 6371000     		do = 718.150299521169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03060707-2.03079882) × cos(0.94227525) × R
    0.000191749999999935 × 0.58794910345282 × 6371000     		du = 718.261701780032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94238798)-sin(0.94227525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587857912654176-0.58794910345282)×R²
    abs(2.03079882-2.03060707)×9.11907986442806e-05×R²
    0.000191749999999935×9.11907986442806e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.11907986442806e-05×40589641000000     		ar = 515817.582737211m²