Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26974 / 10426
↖ ↑ ↗
← N 54.610255°
E116.345215°		 ← 707.49 m → N 54.610255°
E116.356201°		 →
↑
707.50 m
↓
↑
707.50 m
↓
N 54.603892°
E116.345215°		 ← 707.60 m →
500 591 m²		 N 54.603892°
E116.356201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823196411132812 y=0.318191528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823196411132812 × 215)
    floor (0.823196411132812 × 32768)
    floor (26974.5)     		tx = 26974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318191528320312 × 215)
    floor (0.318191528320312 × 32768)
    floor (10426.5)     		ty = 10426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26974 / 10426 ti = "15/26974/10426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26974/10426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26974 ÷ 215
    26974 ÷ 32768     		x = 0.82318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10426 ÷ 215
    10426 ÷ 32768     		y = 0.31817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82318115234375 × 2 - 1) × π
    0.6463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03060707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31817626953125 × 2 - 1) × π
    0.3636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14243219174518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03060707} λ = 2.03060707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14243219174518))-π/2
    2×atan(3.13438252118323)-π/2
    2×1.26196254077909-π/2
    2.52392508155818-1.57079632675     		φ = 0.95312875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03060707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95312875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.610255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26974 KachelY 10426 2.03060707 0.95312875 116.345215 54.610255
    Oben rechts KachelX + 1 26975 KachelY 10426 2.03079882 0.95312875 116.356201 54.610255
    Unten links KachelX 26974 KachelY + 1 10427 2.03060707 0.95301770 116.345215 54.603892
    Unten rechts KachelX + 1 26975 KachelY + 1 10427 2.03079882 0.95301770 116.356201 54.603892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95312875-0.95301770) × R
    0.000111050000000001 × 6371000     		dl = 707.499550000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95312875-0.95301770) × R
    0.000111050000000001 × 6371000     		dr = 707.499550000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03060707-2.03079882) × cos(0.95312875) × R
    0.000191749999999935 × 0.579135272787602 × 6371000     		do = 707.494380296552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03060707-2.03079882) × cos(0.95301770) × R
    0.000191749999999935 × 0.579225800670238 × 6371000     		du = 707.604972711199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95312875)-sin(0.95301770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579135272787602-0.579225800670238)×R²
    abs(2.03079882-2.03060707)×9.05278826353051e-05×R²
    0.000191749999999935×9.05278826353051e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.05278826353051e-05×40589641000000     		ar = 500591.078243188m²