Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26973 / 10551
↖ ↑ ↗
← N 53.807139°
E116.334228°		 ← 721.38 m → N 53.807139°
E116.345215°		 →
↑
721.39 m
↓
↑
721.39 m
↓
N 53.800651°
E116.334228°		 ← 721.50 m →
520 438 m²		 N 53.800651°
E116.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823165893554688 y=0.322006225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823165893554688 × 215)
    floor (0.823165893554688 × 32768)
    floor (26973.5)     		tx = 26973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322006225585938 × 215)
    floor (0.322006225585938 × 32768)
    floor (10551.5)     		ty = 10551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26973 / 10551 ti = "15/26973/10551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26973/10551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26973 ÷ 215
    26973 ÷ 32768     		x = 0.823150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10551 ÷ 215
    10551 ÷ 32768     		y = 0.321990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823150634765625 × 2 - 1) × π
    0.64630126953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03041532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321990966796875 × 2 - 1) × π
    0.35601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11846374193515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03041532} λ = 2.03041532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11846374193515))-π/2
    2×atan(3.06014941111838)-π/2
    2×1.25495403005542-π/2
    2.50990806011083-1.57079632675     		φ = 0.93911173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03041532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.334228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93911173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.807139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26973 KachelY 10551 2.03041532 0.93911173 116.334228 53.807139
    Oben rechts KachelX + 1 26974 KachelY 10551 2.03060707 0.93911173 116.345215 53.807139
    Unten links KachelX 26973 KachelY + 1 10552 2.03041532 0.93899850 116.334228 53.800651
    Unten rechts KachelX + 1 26974 KachelY + 1 10552 2.03060707 0.93899850 116.345215 53.800651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93911173-0.93899850) × R
    0.000113230000000075 × 6371000     		dl = 721.388330000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93911173-0.93899850) × R
    0.000113230000000075 × 6371000     		dr = 721.388330000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03041532-2.03060707) × cos(0.93911173) × R
    0.000191749999999935 × 0.590505121892295 × 6371000     		do = 721.384234229418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03041532-2.03060707) × cos(0.93899850) × R
    0.000191749999999935 × 0.590596498554121 × 6371000     		du = 721.495863546038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93911173)-sin(0.93899850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590505121892295-0.590596498554121)×R²
    abs(2.03060707-2.03041532)×9.13766618256817e-05×R²
    0.000191749999999935×9.13766618256817e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.13766618256817e-05×40589641000000     		ar = 520438.432619167m²