Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26973 / 10517
↖ ↑ ↗
← N 54.027133°
E116.334228°		 ← 717.59 m → N 54.027133°
E116.345215°		 →
↑
717.63 m
↓
↑
717.63 m
↓
N 54.020679°
E116.334228°		 ← 717.70 m →
515 006 m²		 N 54.020679°
E116.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823165893554688 y=0.320968627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823165893554688 × 215)
    floor (0.823165893554688 × 32768)
    floor (26973.5)     		tx = 26973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320968627929688 × 215)
    floor (0.320968627929688 × 32768)
    floor (10517.5)     		ty = 10517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26973 / 10517 ti = "15/26973/10517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26973/10517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26973 ÷ 215
    26973 ÷ 32768     		x = 0.823150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10517 ÷ 215
    10517 ÷ 32768     		y = 0.320953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823150634765625 × 2 - 1) × π
    0.64630126953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03041532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320953369140625 × 2 - 1) × π
    0.35809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12498316028348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03041532} λ = 2.03041532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12498316028348))-π/2
    2×atan(3.0801649793762)-π/2
    2×1.25687384539517-π/2
    2.51374769079034-1.57079632675     		φ = 0.94295136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03041532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.334228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94295136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.027133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26973 KachelY 10517 2.03041532 0.94295136 116.334228 54.027133
    Oben rechts KachelX + 1 26974 KachelY 10517 2.03060707 0.94295136 116.345215 54.027133
    Unten links KachelX 26973 KachelY + 1 10518 2.03041532 0.94283872 116.334228 54.020679
    Unten rechts KachelX + 1 26974 KachelY + 1 10518 2.03060707 0.94283872 116.345215 54.020679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94295136-0.94283872) × R
    0.000112639999999997 × 6371000     		dl = 717.629439999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94295136-0.94283872) × R
    0.000112639999999997 × 6371000     		dr = 717.629439999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03041532-2.03060707) × cos(0.94295136) × R
    0.000191749999999935 × 0.587402065135934 × 6371000     		do = 717.593418300871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03041532-2.03060707) × cos(0.94283872) × R
    0.000191749999999935 × 0.587493220427139 × 6371000     		du = 717.704777182452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94295136)-sin(0.94283872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587402065135934-0.587493220427139)×R²
    abs(2.03060707-2.03041532)×9.11552912052915e-05×R²
    0.000191749999999935×9.11552912052915e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.11552912052915e-05×40589641000000     		ar = 515006.120673904m²