Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26972 / 6949
↖ ↑ ↗
← N 80.381808°
W 31.838379°		 ← 102.05 m → N 80.381808°
W 31.832886°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
N 80.380890°
W 31.838379°		 ← 102.06 m →
10 416 m²		 N 80.380890°
W 31.832886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411567687988281 y=0.106040954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411567687988281 × 216)
    floor (0.411567687988281 × 65536)
    floor (26972.5)     		tx = 26972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106040954589844 × 216)
    floor (0.106040954589844 × 65536)
    floor (6949.5)     		ty = 6949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26972 / 6949 ti = "16/26972/6949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26972/6949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26972 ÷ 216
    26972 ÷ 65536     		x = 0.41156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6949 ÷ 216
    6949 ÷ 65536     		y = 0.106033325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55568454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106033325195312 × 2 - 1) × π
    0.787933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47536562258046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55568454} λ = -0.55568454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47536562258046))-π/2
    2×atan(11.8860521277837)-π/2
    2×1.48686176645557-π/2
    2.97372353291114-1.57079632675     		φ = 1.40292721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55568454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.838379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40292721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.381808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26972 KachelY 6949 -0.55568454 1.40292721 -31.838379 80.381808
    Oben rechts KachelX + 1 26973 KachelY 6949 -0.55558867 1.40292721 -31.832886 80.381808
    Unten links KachelX 26972 KachelY + 1 6950 -0.55568454 1.40291119 -31.838379 80.380890
    Unten rechts KachelX + 1 26973 KachelY + 1 6950 -0.55558867 1.40291119 -31.832886 80.380890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40292721-1.40291119) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dl = 102.063420000742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40292721-1.40291119) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dr = 102.063420000742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55568454--0.55558867) × cos(1.40292721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167081800529449 × 6371000     		do = 102.051520352965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55568454--0.55558867) × cos(1.40291119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167097595315459 × 6371000     		du = 102.06116761509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40292721)-sin(1.40291119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167081800529449-0.167097595315459)×R²
    abs(-0.55558867--0.55568454)×1.57947860099372e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57947860099372e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57947860099372e-05×40589641000000     		ar = 10416.2195002746m²