Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26972 / 5795
↖ ↑ ↗
← N 81.385182°
W 31.838379°		 ← 91.49 m → N 81.385182°
W 31.832886°		 →
↑
91.49 m
↓
↑
91.49 m
↓
N 81.384359°
W 31.838379°		 ← 91.50 m →
8 371 m²		 N 81.384359°
W 31.832886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411567687988281 y=0.0884323120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411567687988281 × 216)
    floor (0.411567687988281 × 65536)
    floor (26972.5)     		tx = 26972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0884323120117188 × 216)
    floor (0.0884323120117188 × 65536)
    floor (5795.5)     		ty = 5795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26972 / 5795 ti = "16/26972/5795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26972/5795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26972 ÷ 216
    26972 ÷ 65536     		x = 0.41156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5795 ÷ 216
    5795 ÷ 65536     		y = 0.0884246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55568454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0884246826171875 × 2 - 1) × π
    0.823150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58600398690355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55568454} λ = -0.55568454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58600398690355))-π/2
    2×atan(13.2766119453794)-π/2
    2×1.49561785808391-π/2
    2.99123571616782-1.57079632675     		φ = 1.42043939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55568454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.838379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42043939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.385182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26972 KachelY 5795 -0.55568454 1.42043939 -31.838379 81.385182
    Oben rechts KachelX + 1 26973 KachelY 5795 -0.55558867 1.42043939 -31.832886 81.385182
    Unten links KachelX 26972 KachelY + 1 5796 -0.55568454 1.42042503 -31.838379 81.384359
    Unten rechts KachelX + 1 26973 KachelY + 1 5796 -0.55558867 1.42042503 -31.832886 81.384359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42043939-1.42042503) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dl = 91.487559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42043939-1.42042503) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dr = 91.487559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55568454--0.55558867) × cos(1.42043939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149791051726052 × 6371000     		do = 91.4905424497076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55568454--0.55558867) × cos(1.42042503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14980524969642 × 6371000     		du = 91.4992143963673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42043939)-sin(1.42042503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149791051726052-0.14980524969642)×R²
    abs(-0.55558867--0.55568454)×1.4197970368085e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4197970368085e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4197970368085e-05×40589641000000     		ar = 8370.64317933796m²