Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26971 / 5803
↖ ↑ ↗
← N 81.378597°
W 31.843872°		 ← 91.56 m → N 81.378597°
W 31.838379°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
N 81.377773°
W 31.843872°		 ← 91.57 m →
8 389 m²		 N 81.377773°
W 31.838379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411552429199219 y=0.0885543823242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411552429199219 × 216)
    floor (0.411552429199219 × 65536)
    floor (26971.5)     		tx = 26971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885543823242188 × 216)
    floor (0.0885543823242188 × 65536)
    floor (5803.5)     		ty = 5803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26971 / 5803 ti = "16/26971/5803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26971/5803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26971 ÷ 216
    26971 ÷ 65536     		x = 0.411544799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5803 ÷ 216
    5803 ÷ 65536     		y = 0.0885467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411544799804688 × 2 - 1) × π
    -0.176910400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55578041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0885467529296875 × 2 - 1) × π
    0.822906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58523699650963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55578041} λ = -0.55578041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58523699650963))-π/2
    2×atan(13.2664328156999)-π/2
    2×1.4955603921484-π/2
    2.99112078429679-1.57079632675     		φ = 1.42032446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55578041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.843872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42032446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.378597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26971 KachelY 5803 -0.55578041 1.42032446 -31.843872 81.378597
    Oben rechts KachelX + 1 26972 KachelY 5803 -0.55568454 1.42032446 -31.838379 81.378597
    Unten links KachelX 26971 KachelY + 1 5804 -0.55578041 1.42031008 -31.843872 81.377773
    Unten rechts KachelX + 1 26972 KachelY + 1 5804 -0.55568454 1.42031008 -31.838379 81.377773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42032446-1.42031008) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dl = 91.6149800005832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42032446-1.42031008) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dr = 91.6149800005832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55578041--0.55568454) × cos(1.42032446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149904684058899 × 6371000     		do = 91.5599476888876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55578041--0.55568454) × cos(1.42031008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149918901555914 × 6371000     		du = 91.568631562184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42032446)-sin(1.42031008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149904684058899-0.149918901555914)×R²
    abs(-0.55568454--0.55578041)×1.42174970142739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42174970142739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42174970142739e-05×40589641000000     		ar = 8388.6605627852m²