Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26971 / 10516
↖ ↑ ↗
← N 54.033586°
E116.312256°		 ← 717.44 m → N 54.033586°
E116.323242°		 →
↑
717.57 m
↓
↑
717.57 m
↓
N 54.027133°
E116.312256°		 ← 717.56 m →
514 854 m²		 N 54.027133°
E116.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823104858398438 y=0.320938110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823104858398438 × 215)
    floor (0.823104858398438 × 32768)
    floor (26971.5)     		tx = 26971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320938110351562 × 215)
    floor (0.320938110351562 × 32768)
    floor (10516.5)     		ty = 10516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26971 / 10516 ti = "15/26971/10516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26971/10516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26971 ÷ 215
    26971 ÷ 32768     		x = 0.823089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10516 ÷ 215
    10516 ÷ 32768     		y = 0.3209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823089599609375 × 2 - 1) × π
    0.64617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03003183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3209228515625 × 2 - 1) × π
    0.358154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12517490788196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03003183} λ = 2.03003183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12517490788196))-π/2
    2×atan(3.08075565024197)-π/2
    2×1.25693015749303-π/2
    2.51386031498605-1.57079632675     		φ = 0.94306399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03003183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94306399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.033586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26971 KachelY 10516 2.03003183 0.94306399 116.312256 54.033586
    Oben rechts KachelX + 1 26972 KachelY 10516 2.03022357 0.94306399 116.323242 54.033586
    Unten links KachelX 26971 KachelY + 1 10517 2.03003183 0.94295136 116.312256 54.027133
    Unten rechts KachelX + 1 26972 KachelY + 1 10517 2.03022357 0.94295136 116.323242 54.027133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94306399-0.94295136) × R
    0.000112629999999947 × 6371000     		dl = 717.565729999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94306399-0.94295136) × R
    0.000112629999999947 × 6371000     		dr = 717.565729999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03003183-2.03022357) × cos(0.94306399) × R
    0.000191739999999996 × 0.587310910485521 × 6371000     		do = 717.444642624226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03003183-2.03022357) × cos(0.94295136) × R
    0.000191739999999996 × 0.587402065135934 × 6371000     		du = 717.555994915528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94306399)-sin(0.94295136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587310910485521-0.587402065135934)×R²
    abs(2.03022357-2.03003183)×9.11546504132055e-05×R²
    0.000191739999999996×9.11546504132055e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.11546504132055e-05×40589641000000     		ar = 514853.640556771m²