Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26970 / 7610
↖ ↑ ↗
← N 79.755796°
W 31.849365°		 ← 108.64 m → N 79.755796°
W 31.843872°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
N 79.754818°
W 31.849365°		 ← 108.65 m →
11 808 m²		 N 79.754818°
W 31.843872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411537170410156 y=0.116127014160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411537170410156 × 216)
    floor (0.411537170410156 × 65536)
    floor (26970.5)     		tx = 26970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116127014160156 × 216)
    floor (0.116127014160156 × 65536)
    floor (7610.5)     		ty = 7610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26970 / 7610 ti = "16/26970/7610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26970/7610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26970 ÷ 216
    26970 ÷ 65536     		x = 0.411529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7610 ÷ 216
    7610 ÷ 65536     		y = 0.116119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.17694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55587629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116119384765625 × 2 - 1) × π
    0.76776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41199304128275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55587629} λ = -0.55587629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41199304128275))-π/2
    2×atan(11.1561737172018)-π/2
    2×1.48139877609115-π/2
    2.9627975521823-1.57079632675     		φ = 1.39200123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55587629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.849365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39200123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.755796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26970 KachelY 7610 -0.55587629 1.39200123 -31.849365 79.755796
    Oben rechts KachelX + 1 26971 KachelY 7610 -0.55578041 1.39200123 -31.843872 79.755796
    Unten links KachelX 26970 KachelY + 1 7611 -0.55587629 1.39198417 -31.849365 79.754818
    Unten rechts KachelX + 1 26971 KachelY + 1 7611 -0.55578041 1.39198417 -31.843872 79.754818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39200123-1.39198417) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39200123-1.39198417) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55587629--0.55578041) × cos(1.39200123) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.177844007337086 × 6371000     		do = 108.636275091044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55587629--0.55578041) × cos(1.39198417) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.177860795352488 × 6371000     		du = 108.646530075099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39200123)-sin(1.39198417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177844007337086-0.177860795352488)×R²
    abs(-0.55578041--0.55587629)×1.67880154023914e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.67880154023914e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.67880154023914e-05×40589641000000     		ar = 11808.1536523736m²