Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26970 / 6952
↖ ↑ ↗
← N 80.379054°
W 31.849365°		 ← 102.09 m → N 80.379054°
W 31.843872°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
N 80.378136°
W 31.849365°		 ← 102.10 m →
10 420 m²		 N 80.378136°
W 31.843872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411537170410156 y=0.106086730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411537170410156 × 216)
    floor (0.411537170410156 × 65536)
    floor (26970.5)     		tx = 26970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106086730957031 × 216)
    floor (0.106086730957031 × 65536)
    floor (6952.5)     		ty = 6952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26970 / 6952 ti = "16/26970/6952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26970/6952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26970 ÷ 216
    26970 ÷ 65536     		x = 0.411529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6952 ÷ 216
    6952 ÷ 65536     		y = 0.1060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.17694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55587629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1060791015625 × 2 - 1) × π
    0.787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47507800118274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55587629} λ = -0.55587629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47507800118274))-π/2
    2×atan(11.8826339364534)-π/2
    2×1.48683773489727-π/2
    2.97367546979455-1.57079632675     		φ = 1.40287914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55587629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.849365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40287914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.379054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26970 KachelY 6952 -0.55587629 1.40287914 -31.849365 80.379054
    Oben rechts KachelX + 1 26971 KachelY 6952 -0.55578041 1.40287914 -31.843872 80.379054
    Unten links KachelX 26970 KachelY + 1 6953 -0.55587629 1.40286312 -31.849365 80.378136
    Unten rechts KachelX + 1 26971 KachelY + 1 6953 -0.55578041 1.40286312 -31.843872 80.378136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40287914-1.40286312) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dl = 102.063420000742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40287914-1.40286312) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dr = 102.063420000742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55587629--0.55578041) × cos(1.40287914) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.167129194618173 × 6371000     		do = 102.09111588377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55587629--0.55578041) × cos(1.40286312) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.167144989275492 × 6371000     		du = 102.10076407357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40287914)-sin(1.40286312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167129194618173-0.167144989275492)×R²
    abs(-0.55578041--0.55587629)×1.57946573190459e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.57946573190459e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.57946573190459e-05×40589641000000     		ar = 10420.2608026965m²