Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26970 / 24999
↖ ↑ ↗
← S 68.297842°
E116.301270°		 ← 451.74 m → S 68.297842°
E116.312256°		 →
↑
451.70 m
↓
↑
451.70 m
↓
S 68.301905°
E116.301270°		 ← 451.66 m →
204 034 m²		 S 68.301905°
E116.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823074340820312 y=0.762924194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823074340820312 × 215)
    floor (0.823074340820312 × 32768)
    floor (26970.5)     		tx = 26970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762924194335938 × 215)
    floor (0.762924194335938 × 32768)
    floor (24999.5)     		ty = 24999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26970 / 24999 ti = "15/26970/24999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26970/24999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26970 ÷ 215
    26970 ÷ 32768     		x = 0.82305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24999 ÷ 215
    24999 ÷ 32768     		y = 0.762908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82305908203125 × 2 - 1) × π
    0.6461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02984008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.52581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65190556090714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02984008} λ = 2.02984008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65190556090714))-π/2
    2×atan(0.191684294283495)-π/2
    2×0.189387052913421-π/2
    0.378774105826842-1.57079632675     		φ = -1.19202222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02984008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.301270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19202222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.297842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26970 KachelY 24999 2.02984008 -1.19202222 116.301270 -68.297842
    Oben rechts KachelX + 1 26971 KachelY 24999 2.03003183 -1.19202222 116.312256 -68.297842
    Unten links KachelX 26970 KachelY + 1 25000 2.02984008 -1.19209312 116.301270 -68.301905
    Unten rechts KachelX + 1 26971 KachelY + 1 25000 2.03003183 -1.19209312 116.312256 -68.301905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19202222--1.19209312) × R
    7.09000000000959e-05 × 6371000     		dl = 451.703900000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19202222--1.19209312) × R
    7.09000000000959e-05 × 6371000     		dr = 451.703900000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02984008-2.03003183) × cos(-1.19202222) × R
    0.000191749999999935 × 0.369781747319324 × 6371000     		do = 451.739896458716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02984008-2.03003183) × cos(-1.19209312) × R
    0.000191749999999935 × 0.369715871877928 × 6371000     		du = 451.659420433896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19202222)-sin(-1.19209312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369781747319324-0.369715871877928)×R²
    abs(2.03003183-2.02984008)×6.58754413959683e-05×R²
    0.000191749999999935×6.58754413959683e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.58754413959683e-05×40589641000000     		ar = 204034.497435187m²