Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26969 / 7609
↖ ↑ ↗
← N 79.756772°
W 31.854858°		 ← 108.61 m → N 79.756772°
W 31.849365°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
N 79.755796°
W 31.854858°		 ← 108.62 m →
11 799 m²		 N 79.755796°
W 31.849365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411521911621094 y=0.116111755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411521911621094 × 216)
    floor (0.411521911621094 × 65536)
    floor (26969.5)     		tx = 26969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116111755371094 × 216)
    floor (0.116111755371094 × 65536)
    floor (7609.5)     		ty = 7609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26969 / 7609 ti = "16/26969/7609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26969/7609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26969 ÷ 216
    26969 ÷ 65536     		x = 0.411514282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7609 ÷ 216
    7609 ÷ 65536     		y = 0.116104125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411514282226562 × 2 - 1) × π
    -0.176971435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55597216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116104125976562 × 2 - 1) × π
    0.767791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41208891508199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55597216} λ = -0.55597216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41208891508199))-π/2
    2×atan(11.1572433532352)-π/2
    2×1.48140730097955-π/2
    2.96281460195909-1.57079632675     		φ = 1.39201828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55597216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.854858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39201828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.756772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26969 KachelY 7609 -0.55597216 1.39201828 -31.854858 79.756772
    Oben rechts KachelX + 1 26970 KachelY 7609 -0.55587629 1.39201828 -31.849365 79.756772
    Unten links KachelX 26969 KachelY + 1 7610 -0.55597216 1.39200123 -31.854858 79.755796
    Unten rechts KachelX + 1 26970 KachelY + 1 7610 -0.55587629 1.39200123 -31.849365 79.755796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39201828-1.39200123) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39201828-1.39200123) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55597216--0.55587629) × cos(1.39201828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17782722911054 × 6371000     		do = 108.614696713704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55597216--0.55587629) × cos(1.39200123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177844007337086 × 6371000     		du = 108.62494464928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39201828)-sin(1.39200123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17782722911054-0.177844007337086)×R²
    abs(-0.55587629--0.55597216)×1.67782265455829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67782265455829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67782265455829e-05×40589641000000     		ar = 11798.887762757m²