Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26969 / 5817
↖ ↑ ↗
← N 81.367061°
W 31.854858°		 ← 91.68 m → N 81.367061°
W 31.849365°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
N 81.366237°
W 31.854858°		 ← 91.69 m →
8 406 m²		 N 81.366237°
W 31.849365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411521911621094 y=0.0887680053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411521911621094 × 216)
    floor (0.411521911621094 × 65536)
    floor (26969.5)     		tx = 26969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0887680053710938 × 216)
    floor (0.0887680053710938 × 65536)
    floor (5817.5)     		ty = 5817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26969 / 5817 ti = "16/26969/5817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26969/5817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26969 ÷ 216
    26969 ÷ 65536     		x = 0.411514282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5817 ÷ 216
    5817 ÷ 65536     		y = 0.0887603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411514282226562 × 2 - 1) × π
    -0.176971435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55597216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0887603759765625 × 2 - 1) × π
    0.822479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58389476332027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55597216} λ = -0.55597216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58389476332027))-π/2
    2×atan(13.2486381142612)-π/2
    2×1.495459721843-π/2
    2.990919443686-1.57079632675     		φ = 1.42012312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55597216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.854858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42012312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.367061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26969 KachelY 5817 -0.55597216 1.42012312 -31.854858 81.367061
    Oben rechts KachelX + 1 26970 KachelY 5817 -0.55587629 1.42012312 -31.849365 81.367061
    Unten links KachelX 26969 KachelY + 1 5818 -0.55597216 1.42010873 -31.854858 81.366237
    Unten rechts KachelX + 1 26970 KachelY + 1 5818 -0.55587629 1.42010873 -31.849365 81.366237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42012312-1.42010873) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42012312-1.42010873) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55597216--0.55587629) × cos(1.42012312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150103745968352 × 6371000     		do = 91.6815322686542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55597216--0.55587629) × cos(1.42010873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150117972917724 × 6371000     		du = 91.6902219153351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42012312)-sin(1.42010873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150103745968352-0.150117972917724)×R²
    abs(-0.55587629--0.55597216)×1.42269493720037e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42269493720037e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42269493720037e-05×40589641000000     		ar = 8405.64110348406m²