Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26968 / 6953
↖ ↑ ↗
← N 80.378136°
W 31.860352°		 ← 102.10 m → N 80.378136°
W 31.854858°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
N 80.377218°
W 31.860352°		 ← 102.11 m →
10 428 m²		 N 80.377218°
W 31.854858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411506652832031 y=0.106101989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411506652832031 × 216)
    floor (0.411506652832031 × 65536)
    floor (26968.5)     		tx = 26968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106101989746094 × 216)
    floor (0.106101989746094 × 65536)
    floor (6953.5)     		ty = 6953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26968 / 6953 ti = "16/26968/6953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26968/6953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26968 ÷ 216
    26968 ÷ 65536     		x = 0.4114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6953 ÷ 216
    6953 ÷ 65536     		y = 0.106094360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55606804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106094360351562 × 2 - 1) × π
    0.787811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4749821273835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55606804} λ = -0.55606804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4749821273835))-π/2
    2×atan(11.8814947578025)-π/2
    2×1.48682972286333-π/2
    2.97365944572665-1.57079632675     		φ = 1.40286312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55606804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.860352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40286312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.378136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26968 KachelY 6953 -0.55606804 1.40286312 -31.860352 80.378136
    Oben rechts KachelX + 1 26969 KachelY 6953 -0.55597216 1.40286312 -31.854858 80.378136
    Unten links KachelX 26968 KachelY + 1 6954 -0.55606804 1.40284709 -31.860352 80.377218
    Unten rechts KachelX + 1 26969 KachelY + 1 6954 -0.55597216 1.40284709 -31.854858 80.377218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40286312-1.40284709) × R
    1.60299999998337e-05 × 6371000     		dl = 102.12712999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40286312-1.40284709) × R
    1.60299999998337e-05 × 6371000     		dr = 102.12712999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55606804--0.55597216) × cos(1.40286312) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167144989275492 × 6371000     		do = 102.100764073451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55606804--0.55597216) × cos(1.40284709) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167160793749211 × 6371000     		du = 102.110418259613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40286312)-sin(1.40284709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167144989275492-0.167160793749211)×R²
    abs(-0.55597216--0.55606804)×1.58044737190999e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.58044737190999e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.58044737190999e-05×40589641000000     		ar = 10427.7509829117m²