Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26968 / 5798
↖ ↑ ↗
← N 81.382713°
W 31.860352°		 ← 91.53 m → N 81.382713°
W 31.854858°		 →
↑
91.55 m
↓
↑
91.55 m
↓
N 81.381890°
W 31.860352°		 ← 91.53 m →
8 380 m²		 N 81.381890°
W 31.854858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411506652832031 y=0.0884780883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411506652832031 × 216)
    floor (0.411506652832031 × 65536)
    floor (26968.5)     		tx = 26968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0884780883789062 × 216)
    floor (0.0884780883789062 × 65536)
    floor (5798.5)     		ty = 5798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26968 / 5798 ti = "16/26968/5798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26968/5798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26968 ÷ 216
    26968 ÷ 65536     		x = 0.4114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5798 ÷ 216
    5798 ÷ 65536     		y = 0.088470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55606804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088470458984375 × 2 - 1) × π
    0.82305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58571636550583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55606804} λ = -0.55606804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58571636550583))-π/2
    2×atan(13.272793856803)-π/2
    2×1.49559631346475-π/2
    2.9911926269295-1.57079632675     		φ = 1.42039630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55606804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.860352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42039630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.382713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26968 KachelY 5798 -0.55606804 1.42039630 -31.860352 81.382713
    Oben rechts KachelX + 1 26969 KachelY 5798 -0.55597216 1.42039630 -31.854858 81.382713
    Unten links KachelX 26968 KachelY + 1 5799 -0.55606804 1.42038193 -31.860352 81.381890
    Unten rechts KachelX + 1 26969 KachelY + 1 5799 -0.55597216 1.42038193 -31.854858 81.381890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42039630-1.42038193) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dl = 91.5512699995558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42039630-1.42038193) × R
    1.43699999999303e-05 × 6371000     		dr = 91.5512699995558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55606804--0.55597216) × cos(1.42039630) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149833655431591 × 6371000     		do = 91.5261101741376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55606804--0.55597216) × cos(1.42038193) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149847863196346 × 6371000     		du = 91.5347890082654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42039630)-sin(1.42038193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149833655431591-0.149847863196346)×R²
    abs(-0.55597216--0.55606804)×1.42077647545535e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42077647545535e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42077647545535e-05×40589641000000     		ar = 8379.72890387648m²