Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26967 / 6954
↖ ↑ ↗
← N 80.377218°
W 31.865845°		 ← 102.10 m → N 80.377218°
W 31.860352°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
N 80.376300°
W 31.865845°		 ← 102.11 m →
10 421 m²		 N 80.376300°
W 31.860352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411491394042969 y=0.106117248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411491394042969 × 216)
    floor (0.411491394042969 × 65536)
    floor (26967.5)     		tx = 26967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106117248535156 × 216)
    floor (0.106117248535156 × 65536)
    floor (6954.5)     		ty = 6954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26967 / 6954 ti = "16/26967/6954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26967/6954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26967 ÷ 216
    26967 ÷ 65536     		x = 0.411483764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6954 ÷ 216
    6954 ÷ 65536     		y = 0.106109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411483764648438 × 2 - 1) × π
    -0.177032470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55616391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106109619140625 × 2 - 1) × π
    0.78778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47488625358426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55616391} λ = -0.55616391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47488625358426))-π/2
    2×atan(11.8803556883637)-π/2
    2×1.486821710072-π/2
    2.97364342014401-1.57079632675     		φ = 1.40284709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55616391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.865845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40284709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.377218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26967 KachelY 6954 -0.55616391 1.40284709 -31.865845 80.377218
    Oben rechts KachelX + 1 26968 KachelY 6954 -0.55606804 1.40284709 -31.860352 80.377218
    Unten links KachelX 26967 KachelY + 1 6955 -0.55616391 1.40283107 -31.865845 80.376300
    Unten rechts KachelX + 1 26968 KachelY + 1 6955 -0.55606804 1.40283107 -31.860352 80.376300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40284709-1.40283107) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dl = 102.063420000742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40284709-1.40283107) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dr = 102.063420000742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55616391--0.55606804) × cos(1.40284709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167160793749211 × 6371000     		do = 102.099768445508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55616391--0.55606804) × cos(1.40283107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167176588320707 × 6371000     		du = 102.10941557661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40284709)-sin(1.40283107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167160793749211-0.167176588320707)×R²
    abs(-0.55606804--0.55616391)×1.57945714958918e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57945714958918e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57945714958918e-05×40589641000000     		ar = 10421.1438587492m²