Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26967 / 6684
↖ ↑ ↗
← N 80.622005°
W 31.865845°		 ← 99.53 m → N 80.622005°
W 31.860352°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
N 80.621110°
W 31.865845°		 ← 99.54 m →
9 905 m²		 N 80.621110°
W 31.860352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411491394042969 y=0.101997375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411491394042969 × 216)
    floor (0.411491394042969 × 65536)
    floor (26967.5)     		tx = 26967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101997375488281 × 216)
    floor (0.101997375488281 × 65536)
    floor (6684.5)     		ty = 6684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26967 / 6684 ti = "16/26967/6684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26967/6684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26967 ÷ 216
    26967 ÷ 65536     		x = 0.411483764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6684 ÷ 216
    6684 ÷ 65536     		y = 0.10198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411483764648438 × 2 - 1) × π
    -0.177032470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55616391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10198974609375 × 2 - 1) × π
    0.7960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50077217937909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55616391} λ = -0.55616391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50077217937909))-π/2
    2×atan(12.1919046642338)-π/2
    2×1.48895788400989-π/2
    2.97791576801977-1.57079632675     		φ = 1.40711944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55616391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.865845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40711944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.622005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26967 KachelY 6684 -0.55616391 1.40711944 -31.865845 80.622005
    Oben rechts KachelX + 1 26968 KachelY 6684 -0.55606804 1.40711944 -31.860352 80.622005
    Unten links KachelX 26967 KachelY + 1 6685 -0.55616391 1.40710382 -31.865845 80.621110
    Unten rechts KachelX + 1 26968 KachelY + 1 6685 -0.55606804 1.40710382 -31.860352 80.621110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40711944-1.40710382) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dl = 99.5150200006689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40711944-1.40710382) × R
    1.5620000000105e-05 × 6371000     		dr = 99.5150200006689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55616391--0.55606804) × cos(1.40711944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16294704444718 × 6371000     		do = 99.5260619059818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55616391--0.55606804) × cos(1.40710382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162962455663132 × 6371000     		du = 99.5354748882058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40711944)-sin(1.40710382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16294704444718-0.162962455663132)×R²
    abs(-0.55606804--0.55616391)×1.54112159515829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54112159515829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54112159515829e-05×40589641000000     		ar = 9904.80640816341m²