Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26966 / 7331
↖ ↑ ↗
← N 80.024801°
W 31.871338°		 ← 105.80 m → N 80.024801°
W 31.865845°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
N 80.023849°
W 31.871338°		 ← 105.81 m →
11 197 m²		 N 80.023849°
W 31.865845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411476135253906 y=0.111869812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411476135253906 × 216)
    floor (0.411476135253906 × 65536)
    floor (26966.5)     		tx = 26966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111869812011719 × 216)
    floor (0.111869812011719 × 65536)
    floor (7331.5)     		ty = 7331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26966 / 7331 ti = "16/26966/7331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26966/7331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26966 ÷ 216
    26966 ÷ 65536     		x = 0.411468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7331 ÷ 216
    7331 ÷ 65536     		y = 0.111862182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.17706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55625978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111862182617188 × 2 - 1) × π
    0.776275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43874183127074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55625978} λ = -0.55625978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43874183127074))-π/2
    2×atan(11.4586147987415)-π/2
    2×1.48374629171719-π/2
    2.96749258343439-1.57079632675     		φ = 1.39669626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55625978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.871338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39669626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.024801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26966 KachelY 7331 -0.55625978 1.39669626 -31.871338 80.024801
    Oben rechts KachelX + 1 26967 KachelY 7331 -0.55616391 1.39669626 -31.865845 80.024801
    Unten links KachelX 26966 KachelY + 1 7332 -0.55625978 1.39667965 -31.871338 80.023849
    Unten rechts KachelX + 1 26967 KachelY + 1 7332 -0.55616391 1.39667965 -31.865845 80.023849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39669626-1.39667965) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dl = 105.822309999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39669626-1.39667965) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dr = 105.822309999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55625978--0.55616391) × cos(1.39669626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173221879099582 × 6371000     		do = 105.801805250441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55625978--0.55616391) × cos(1.39667965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173238237979423 × 6371000     		du = 105.811797054179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39669626)-sin(1.39667965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173221879099582-0.173238237979423)×R²
    abs(-0.55616391--0.55625978)×1.63588798407777e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63588798407777e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63588798407777e-05×40589641000000     		ar = 11196.720111709m²