Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26965 / 11603
↖ ↑ ↗
← N 46.415139°
E116.246338°		 ← 842.23 m → N 46.415139°
E116.257324°		 →
↑
842.25 m
↓
↑
842.25 m
↓
N 46.407564°
E116.246338°		 ← 842.35 m →
709 416 m²		 N 46.407564°
E116.257324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822921752929688 y=0.354110717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822921752929688 × 215)
    floor (0.822921752929688 × 32768)
    floor (26965.5)     		tx = 26965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354110717773438 × 215)
    floor (0.354110717773438 × 32768)
    floor (11603.5)     		ty = 11603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26965 / 11603 ti = "15/26965/11603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26965/11603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26965 ÷ 215
    26965 ÷ 32768     		x = 0.822906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11603 ÷ 215
    11603 ÷ 32768     		y = 0.354095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822906494140625 × 2 - 1) × π
    0.64581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02888134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354095458984375 × 2 - 1) × π
    0.29180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.916745268333954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02888134} λ = 2.02888134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.916745268333954))-π/2
    2×atan(2.50113659944287)-π/2
    2×1.19044666059836-π/2
    2.38089332119671-1.57079632675     		φ = 0.81009699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02888134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.246338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81009699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.415139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26965 KachelY 11603 2.02888134 0.81009699 116.246338 46.415139
    Oben rechts KachelX + 1 26966 KachelY 11603 2.02907309 0.81009699 116.257324 46.415139
    Unten links KachelX 26965 KachelY + 1 11604 2.02888134 0.80996479 116.246338 46.407564
    Unten rechts KachelX + 1 26966 KachelY + 1 11604 2.02907309 0.80996479 116.257324 46.407564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81009699-0.80996479) × R
    0.000132200000000027 × 6371000     		dl = 842.24620000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81009699-0.80996479) × R
    0.000132200000000027 × 6371000     		dr = 842.24620000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02888134-2.02907309) × cos(0.81009699) × R
    0.000191749999999935 × 0.689428181095738 × 6371000     		do = 842.232526082376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02888134-2.02907309) × cos(0.80996479) × R
    0.000191749999999935 × 0.689523934675751 × 6371000     		du = 842.349502414048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81009699)-sin(0.80996479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689428181095738-0.689523934675751)×R²
    abs(2.02907309-2.02888134)×9.57535800122367e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57535800122367e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57535800122367e-05×40589641000000     		ar = 709416.407078175m²