Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26964 / 6199
↖ ↑ ↗
← N 81.046315°
W 31.882324°		 ← 95.06 m → N 81.046315°
W 31.876831°		 →
↑
95.06 m
↓
↑
95.06 m
↓
N 81.045460°
W 31.882324°		 ← 95.07 m →
9 036 m²		 N 81.045460°
W 31.876831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411445617675781 y=0.0945968627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411445617675781 × 216)
    floor (0.411445617675781 × 65536)
    floor (26964.5)     		tx = 26964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0945968627929688 × 216)
    floor (0.0945968627929688 × 65536)
    floor (6199.5)     		ty = 6199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26964 / 6199 ti = "16/26964/6199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26964/6199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26964 ÷ 216
    26964 ÷ 65536     		x = 0.41143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6199 ÷ 216
    6199 ÷ 65536     		y = 0.0945892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1771240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55645153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0945892333984375 × 2 - 1) × π
    0.810821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54727097201054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55645153} λ = -0.55645153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54727097201054))-π/2
    2×atan(12.7722004856756)-π/2
    2×1.492660682689-π/2
    2.98532136537799-1.57079632675     		φ = 1.41452504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55645153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.882324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41452504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.046315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26964 KachelY 6199 -0.55645153 1.41452504 -31.882324 81.046315
    Oben rechts KachelX + 1 26965 KachelY 6199 -0.55635566 1.41452504 -31.876831 81.046315
    Unten links KachelX 26964 KachelY + 1 6200 -0.55645153 1.41451012 -31.882324 81.045460
    Unten rechts KachelX + 1 26965 KachelY + 1 6200 -0.55635566 1.41451012 -31.876831 81.045460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41452504-1.41451012) × R
    1.49199999999183e-05 × 6371000     		dl = 95.0553199994797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41452504-1.41451012) × R
    1.49199999999183e-05 × 6371000     		dr = 95.0553199994797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55645153--0.55635566) × cos(1.41452504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155636020212857 × 6371000     		do = 95.0605777174838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55645153--0.55635566) × cos(1.41451012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155650758387442 × 6371000     		du = 95.0695796142722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41452504)-sin(1.41451012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155636020212857-0.155650758387442)×R²
    abs(-0.55635566--0.55645153)×1.47381745846109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47381745846109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47381745846109e-05×40589641000000     		ar = 9036.44147339455m²