Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26963 / 6195
↖ ↑ ↗
← N 81.049734°
W 31.887817°		 ← 95.02 m → N 81.049734°
W 31.882324°		 →
↑
94.99 m
↓
↑
94.99 m
↓
N 81.048879°
W 31.887817°		 ← 95.03 m →
9 027 m²		 N 81.048879°
W 31.882324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411430358886719 y=0.0945358276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411430358886719 × 216)
    floor (0.411430358886719 × 65536)
    floor (26963.5)     		tx = 26963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0945358276367188 × 216)
    floor (0.0945358276367188 × 65536)
    floor (6195.5)     		ty = 6195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26963 / 6195 ti = "16/26963/6195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26963/6195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26963 ÷ 216
    26963 ÷ 65536     		x = 0.411422729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6195 ÷ 216
    6195 ÷ 65536     		y = 0.0945281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411422729492188 × 2 - 1) × π
    -0.177154541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55654740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0945281982421875 × 2 - 1) × π
    0.810943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5476544672075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55654740} λ = -0.55654740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5476544672075))-π/2
    2×atan(12.7770995025312)-π/2
    2×1.49269051987051-π/2
    2.98538103974102-1.57079632675     		φ = 1.41458471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55654740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.887817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41458471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.049734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26963 KachelY 6195 -0.55654740 1.41458471 -31.887817 81.049734
    Oben rechts KachelX + 1 26964 KachelY 6195 -0.55645153 1.41458471 -31.882324 81.049734
    Unten links KachelX 26963 KachelY + 1 6196 -0.55654740 1.41456980 -31.887817 81.048879
    Unten rechts KachelX + 1 26964 KachelY + 1 6196 -0.55645153 1.41456980 -31.882324 81.048879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41458471-1.41456980) × R
    1.49099999999791e-05 × 6371000     		dl = 94.9916099998669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41458471-1.41456980) × R
    1.49099999999791e-05 × 6371000     		dr = 94.9916099998669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55654740--0.55645153) × cos(1.41458471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155577077046333 × 6371000     		do = 95.0245759522458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55654740--0.55645153) × cos(1.41456980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155591805481243 × 6371000     		du = 95.0335719001599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41458471)-sin(1.41456980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155577077046333-0.155591805481243)×R²
    abs(-0.55645153--0.55654740)×1.4728434909711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4728434909711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4728434909711e-05×40589641000000     		ar = 9026.96472936093m²