Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26963 / 11573
↖ ↑ ↗
← N 46.641894°
E116.224365°		 ← 838.72 m → N 46.641894°
E116.235351°		 →
↑
838.81 m
↓
↑
838.81 m
↓
N 46.634350°
E116.224365°		 ← 838.84 m →
703 576 m²		 N 46.634350°
E116.235351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822860717773438 y=0.353195190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822860717773438 × 215)
    floor (0.822860717773438 × 32768)
    floor (26963.5)     		tx = 26963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353195190429688 × 215)
    floor (0.353195190429688 × 32768)
    floor (11573.5)     		ty = 11573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26963 / 11573 ti = "15/26963/11573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26963/11573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26963 ÷ 215
    26963 ÷ 32768     		x = 0.822845458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11573 ÷ 215
    11573 ÷ 32768     		y = 0.353179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822845458984375 × 2 - 1) × π
    0.64569091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02849784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353179931640625 × 2 - 1) × π
    0.29364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.922497696288361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02849784} λ = 2.02849784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.922497696288361))-π/2
    2×atan(2.51556566883772)-π/2
    2×1.19242547286308-π/2
    2.38485094572615-1.57079632675     		φ = 0.81405462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02849784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.224365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81405462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.641894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26963 KachelY 11573 2.02849784 0.81405462 116.224365 46.641894
    Oben rechts KachelX + 1 26964 KachelY 11573 2.02868959 0.81405462 116.235351 46.641894
    Unten links KachelX 26963 KachelY + 1 11574 2.02849784 0.81392296 116.224365 46.634350
    Unten rechts KachelX + 1 26964 KachelY + 1 11574 2.02868959 0.81392296 116.235351 46.634350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81405462-0.81392296) × R
    0.000131659999999978 × 6371000     		dl = 838.805859999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81405462-0.81392296) × R
    0.000131659999999978 × 6371000     		dr = 838.805859999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02849784-2.02868959) × cos(0.81405462) × R
    0.000191749999999935 × 0.686556064085529 × 6371000     		do = 838.723835212113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02849784-2.02868959) × cos(0.81392296) × R
    0.000191749999999935 × 0.686651785075089 × 6371000     		du = 838.840771730009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81405462)-sin(0.81392296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686556064085529-0.686651785075089)×R²
    abs(2.02868959-2.02849784)×9.57209895601219e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57209895601219e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57209895601219e-05×40589641000000     		ar = 703575.512432363m²