Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26962 / 7605
↖ ↑ ↗
← N 79.760679°
W 31.893311°		 ← 108.59 m → N 79.760679°
W 31.887817°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
N 79.759702°
W 31.893311°		 ← 108.60 m →
11 796 m²		 N 79.759702°
W 31.887817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411415100097656 y=0.116050720214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411415100097656 × 216)
    floor (0.411415100097656 × 65536)
    floor (26962.5)     		tx = 26962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116050720214844 × 216)
    floor (0.116050720214844 × 65536)
    floor (7605.5)     		ty = 7605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26962 / 7605 ti = "16/26962/7605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26962/7605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26962 ÷ 216
    26962 ÷ 65536     		x = 0.411407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7605 ÷ 216
    7605 ÷ 65536     		y = 0.116043090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.17718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55664328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116043090820312 × 2 - 1) × π
    0.767913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41247241027895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55664328} λ = -0.55664328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41247241027895))-π/2
    2×atan(11.1615229230173)-π/2
    2×1.48144139249138-π/2
    2.96288278498275-1.57079632675     		φ = 1.39208646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55664328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.893311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39208646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.760679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26962 KachelY 7605 -0.55664328 1.39208646 -31.893311 79.760679
    Oben rechts KachelX + 1 26963 KachelY 7605 -0.55654740 1.39208646 -31.887817 79.760679
    Unten links KachelX 26962 KachelY + 1 7606 -0.55664328 1.39206941 -31.893311 79.759702
    Unten rechts KachelX + 1 26963 KachelY + 1 7606 -0.55654740 1.39206941 -31.887817 79.759702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39208646-1.39206941) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39208646-1.39206941) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55664328--0.55654740) × cos(1.39208646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177760135368936 × 6371000     		do = 108.585041775044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55664328--0.55654740) × cos(1.39206941) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.177776913802171 × 6371000     		du = 108.595290905817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39208646)-sin(1.39206941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177760135368936-0.177776913802171)×R²
    abs(-0.55654740--0.55664328)×1.67784332349707e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.67784332349707e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.67784332349707e-05×40589641000000     		ar = 11795.66654337m²