Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26962 / 5906
↖ ↑ ↗
← N 81.293366°
W 31.893311°		 ← 92.47 m → N 81.293366°
W 31.887817°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
N 81.292535°
W 31.893311°		 ← 92.48 m →
8 548 m²		 N 81.292535°
W 31.887817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411415100097656 y=0.0901260375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411415100097656 × 216)
    floor (0.411415100097656 × 65536)
    floor (26962.5)     		tx = 26962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0901260375976562 × 216)
    floor (0.0901260375976562 × 65536)
    floor (5906.5)     		ty = 5906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26962 / 5906 ti = "16/26962/5906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26962/5906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26962 ÷ 216
    26962 ÷ 65536     		x = 0.411407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5906 ÷ 216
    5906 ÷ 65536     		y = 0.090118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.17718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55664328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090118408203125 × 2 - 1) × π
    0.81976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5753619951879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55664328} λ = -0.55664328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5753619951879))-π/2
    2×atan(13.1360714925833)-π/2
    2×1.49481661292642-π/2
    2.98963322585284-1.57079632675     		φ = 1.41883690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55664328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.893311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41883690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.293366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26962 KachelY 5906 -0.55664328 1.41883690 -31.893311 81.293366
    Oben rechts KachelX + 1 26963 KachelY 5906 -0.55654740 1.41883690 -31.887817 81.293366
    Unten links KachelX 26962 KachelY + 1 5907 -0.55664328 1.41882239 -31.893311 81.292535
    Unten rechts KachelX + 1 26963 KachelY + 1 5907 -0.55654740 1.41882239 -31.887817 81.292535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41883690-1.41882239) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41883690-1.41882239) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55664328--0.55654740) × cos(1.41883690) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151375268905177 × 6371000     		do = 92.4678070460645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55664328--0.55654740) × cos(1.41882239) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151389611681325 × 6371000     		du = 92.4765683521019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41883690)-sin(1.41882239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151375268905177-0.151389611681325)×R²
    abs(-0.55654740--0.55664328)×1.43427761482295e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43427761482295e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43427761482295e-05×40589641000000     		ar = 8548.42586697471m²