Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26962 / 11575
↖ ↑ ↗
← N 46.626806°
E116.213379°		 ← 838.91 m → N 46.626806°
E116.224365°		 →
↑
839 m
↓
↑
839 m
↓
N 46.619261°
E116.213379°		 ← 839.03 m →
703 895 m²		 N 46.619261°
E116.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822830200195312 y=0.353256225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822830200195312 × 215)
    floor (0.822830200195312 × 32768)
    floor (26962.5)     		tx = 26962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353256225585938 × 215)
    floor (0.353256225585938 × 32768)
    floor (11575.5)     		ty = 11575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26962 / 11575 ti = "15/26962/11575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26962/11575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26962 ÷ 215
    26962 ÷ 32768     		x = 0.82281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11575 ÷ 215
    11575 ÷ 32768     		y = 0.353240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82281494140625 × 2 - 1) × π
    0.6456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02830610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353240966796875 × 2 - 1) × π
    0.29351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.9221142010914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02830610} λ = 2.02830610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.9221142010914))-π/2
    2×atan(2.51460114644275)-π/2
    2×1.19229380903285-π/2
    2.38458761806569-1.57079632675     		φ = 0.81379129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02830610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81379129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.626806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26962 KachelY 11575 2.02830610 0.81379129 116.213379 46.626806
    Oben rechts KachelX + 1 26963 KachelY 11575 2.02849784 0.81379129 116.224365 46.626806
    Unten links KachelX 26962 KachelY + 1 11576 2.02830610 0.81365960 116.213379 46.619261
    Unten rechts KachelX + 1 26963 KachelY + 1 11576 2.02849784 0.81365960 116.224365 46.619261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81379129-0.81365960) × R
    0.000131689999999907 × 6371000     		dl = 838.996989999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81379129-0.81365960) × R
    0.000131689999999907 × 6371000     		dr = 838.996989999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02830610-2.02849784) × cos(0.81379129) × R
    0.000191739999999996 × 0.686747501430944 × 6371000     		do = 838.913949904137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02830610-2.02849784) × cos(0.81365960) × R
    0.000191739999999996 × 0.686843220416776 × 6371000     		du = 839.030877875944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81379129)-sin(0.81365960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686747501430944-0.686843220416776)×R²
    abs(2.02849784-2.02830610)×9.57189858328267e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57189858328267e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57189858328267e-05×40589641000000     		ar = 703895.330963696m²