Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26962 / 10428
↖ ↑ ↗
← N 54.597528°
E116.213379°		 ← 707.68 m → N 54.597528°
E116.224365°		 →
↑
707.75 m
↓
↑
707.75 m
↓
N 54.591163°
E116.213379°		 ← 707.79 m →
500 902 m²		 N 54.591163°
E116.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822830200195312 y=0.318252563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822830200195312 × 215)
    floor (0.822830200195312 × 32768)
    floor (26962.5)     		tx = 26962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318252563476562 × 215)
    floor (0.318252563476562 × 32768)
    floor (10428.5)     		ty = 10428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26962 / 10428 ti = "15/26962/10428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26962/10428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26962 ÷ 215
    26962 ÷ 32768     		x = 0.82281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10428 ÷ 215
    10428 ÷ 32768     		y = 0.3182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82281494140625 × 2 - 1) × π
    0.6456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02830610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3182373046875 × 2 - 1) × π
    0.363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14204869654822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02830610} λ = 2.02830610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14204869654822))-π/2
    2×atan(3.13318073099603)-π/2
    2×1.26185147562234-π/2
    2.52370295124468-1.57079632675     		φ = 0.95290662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02830610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95290662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.597528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26962 KachelY 10428 2.02830610 0.95290662 116.213379 54.597528
    Oben rechts KachelX + 1 26963 KachelY 10428 2.02849784 0.95290662 116.224365 54.597528
    Unten links KachelX 26962 KachelY + 1 10429 2.02830610 0.95279553 116.213379 54.591163
    Unten rechts KachelX + 1 26963 KachelY + 1 10429 2.02849784 0.95279553 116.224365 54.591163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95290662-0.95279553) × R
    0.000111090000000091 × 6371000     		dl = 707.754390000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95290662-0.95279553) × R
    0.000111090000000091 × 6371000     		dr = 707.754390000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02830610-2.02849784) × cos(0.95290662) × R
    0.000191739999999996 × 0.579316345862885 × 6371000     		do = 707.678678028265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02830610-2.02849784) × cos(0.95279553) × R
    0.000191739999999996 × 0.579406892057868 × 6371000     		du = 707.789287045297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95290662)-sin(0.95279553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579316345862885-0.579406892057868)×R²
    abs(2.02849784-2.02830610)×9.05461949830544e-05×R²
    0.000191739999999996×9.05461949830544e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.05461949830544e-05×40589641000000     		ar = 500901.833608296m²